2 次不等式

2 次関数のグラフを使って 2 次不等式を解ける（符号の変化を読める）

前提

平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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平方完成と 2 次関数のグラフ（数学I 2次関数）

説明

2 次不等式とは、 $x^{2} - 4 x + 1 \leq 0$ のように、左辺が $x$ の 2 次式になっている不等式のことです。 $y = a x^{2} + b x + c$ のグラフをかき、グラフが $x$ 軸より上にある部分・下にある部分を読み取れば、2 次不等式を解くことができます。グラフが $x$ 軸と交わる点では、 $y$ の値の符号（正・負）が入れかわります。どこで入れかわるかを読む力は、関数の値の範囲や方程式の解の条件を調べる問題でも使います。

なぜそうしてよいのか

$a x^{2} + b x + c > 0$ を満たす $x$ は、 $y = a x^{2} + b x + c$ の値が正になる $x$ です。グラフでいえば、 $x$ 軸より上にある部分の $x$ の範囲にあたります。同じように、 $a x^{2} + b x + c < 0$ はグラフが $x$ 軸より下にある部分です。つまり 2 次不等式は、グラフが $x$ 軸とどこで交わるかを調べ、交点を境に上下を読む問題になります。

$a > 0$ のとき、グラフは下に凸の放物線です。 $x$ 軸と 2 点 $x = α, β (α < β)$ で交わるなら、両端の $x < α$ と $x > β$ ではグラフが $x$ 軸より上にあり、 $α < x < β$ では下にあります。式でも確かめられます。 $a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β)$ と表すと、 $α < x < β$ では $x - α > 0, x - β < 0$ なので、積は負です。 $x < α$ や $x > β$ では 2 つの因数の符号がそろうので、積は正です。

グラフが $x$ 軸と交わらないときや接するときは、平方完成 $a (x - p)^{2} + q$ を使います。 $a > 0$ で $q > 0$ なら、どの $x$ でも値は $q$ 以上なので常に正です。 $q = 0$ なら、値は $x = p$ でだけ $0$ になり、それ以外では正です。

手順

$x^{2}$ の係数が負なら、両辺に $- 1$ を掛けて係数を正にする。このとき不等号の向きを逆にする（例: $- x^{2} + x + 6 > 0 \Rightarrow x^{2} - x - 6 < 0$ ）。
2 次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ を因数分解か解の公式で解き、グラフと $x$ 軸の交点 $x = α, β (α < β)$ を求める。実数の解がないときや解が 1 つのときは、平方完成 $a (x - p)^{2} + q$ で頂点を調べる。
交点を通る下に凸の放物線を、 $x$ 軸との位置関係がわかる程度に簡単にかく。
グラフから範囲を読む。 $> 0$ なら $x < α, β < x$ 、 $< 0$ なら $α < x < β$ 。不等号に等号（ $\geq, \leq$ ）が含まれるときは、端の $α, β$ も含める。
交点がない・接する場合はグラフで判断する。例: $(x - 1)^{2} + 2 > 0$ はすべての実数、 $(x - 1)^{2} > 0$ は $1$ 以外のすべての実数、 $(x - 1)^{2} \leq 0$ は $x = 1$ 、 $(x - 1)^{2} < 0$ は解なし。

例題

2 次不等式 $x^{2} - 4 x + 1 \leq 0$ を解け。

例題の解答

手順1: $x^{2}$ の係数は $1 > 0$ なので、そのまま進めます。
手順2: 方程式 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ を解の公式で解くと $x = \frac{4 \pm 16 - 4}{2} = 2 \pm 3$ です。平方完成すると $x^{2} - 4 x + 1 = (x - 2)^{2} - 3$ となり、頂点は $(2, - 3)$ です。頂点が $x$ 軸より下にあるので、グラフは $x$ 軸と 2 点 $x = 2 - 3, 2 + 3$ で交わります。
手順3: 頂点 $(2, - 3)$ と 2 つの交点を通る、下に凸の放物線をかきます。
手順4: 求めるのは $y \leq 0$ 、つまりグラフが $x$ 軸より下か $x$ 軸上にある部分です。それは 2 つの交点の間で、等号があるので端も含めます。
よって $2 - 3 \leq x \leq 2 + 3$ です。

答え: $2 - 3 \leq x \leq 2 + 3$

よくある誤り

$- 1$ を掛けたのに不等号の向きを変えない誤り。例えば $- x^{2} + x + 6 > 0$ を $x^{2} - x - 6 > 0$ としてしまう。正しくは $x^{2} - x - 6 < 0$ で、 $(x + 2) (x - 3) < 0$ より $- 2 < x < 3$ 。
「 $> 0$ なら間」と覚え違える誤り。例えば $x^{2} - x - 6 > 0$ を $- 2 < x < 3$ としてしまう。正しくは、下に凸のグラフが $x$ 軸より上にあるのは両側なので $x < - 2, 3 < x$ 。
平方根をとって片側だけにしてしまう誤り。例えば $x^{2} > 4$ を $x > 2$ としてしまう。正しくは $x^{2} - 4 > 0$ 、 $(x + 2) (x - 2) > 0$ より $x < - 2, 2 < x$ 。
グラフが $x$ 軸に接する場合を読み違える誤り。例えば $(x - 2)^{2} \leq 0$ を「解なし」としてしまう。正しくは $x = 2$ のとき値が $0$ になるので、解は $x = 2$ 。また $(x - 2)^{2} > 0$ の解は「すべての実数」ではなく「 $2$ 以外のすべての実数」。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

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