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微分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 微分法

関数 $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 3 x$ について、曲線 $y = f (x)$ が下に凸となる実数 $x$ の範囲を求めよ。ここでは、 $f^{''} (x) > 0$ を満たす $x$ の範囲を答えるものとする。

この問題で使うもの

多項式の微分（説明と入口の問題）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（説明と入口の問題）
2 次不等式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（31 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

第 2 次導関数 $f^{''} (x)$ の符号で曲線の凹凸を判定する技能を使います。 $f^{''} (x) > 0$ の区間で下に凸です。

ヒント 2

$f (x)$ を 2 回微分して $f^{''} (x)$ を求め、因数分解して $f^{''} (x) > 0$ という 2 次不等式を解きます。

ヒント 3

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3$ 、 $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 x = 12 x (x - 1)$ となります。あとは $12 x (x - 1) > 0$ を解きましょう。

答えと解説

答えを見る

x < 0, 1 < x

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解説を読む

曲線 $y = f (x)$ の凹凸は、第 $2$ 次導関数 $f^{''} (x)$ の符号で判定します。 $f^{''} (x) > 0$ となる区間で曲線は下に凸、 $f^{''} (x) < 0$ となる区間で上に凸です。

手順 1：第 1 次導関数を求める。
$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3$

手順 2：第 2 次導関数を求める。 $f^{'} (x)$ をもう一度微分します。
$f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 x = 12 x (x - 1)$

手順 3： $f^{''} (x)$ の符号を調べる。 $f^{''} (x) = 0$ となるのは $x = 0, 1$ です。 $y = 12 x (x - 1)$ は下に凸の放物線で、 $x$ 軸と $x = 0, 1$ で交わります。よって
- $x < 0$ のとき $f^{''} (x) > 0$
- $0 < x < 1$ のとき $f^{''} (x) < 0$
- $1 < x$ のとき $f^{''} (x) > 0$

手順 4：結論。 $f^{''} (x) > 0$ となる範囲で曲線は下に凸です。したがって、求める範囲は
$x < 0, 1 < x$
です。

（参考： $x = 0, 1$ の前後で $f^{''} (x)$ の符号が変わるので、点 $(0, 0)$ と $(1, 2)$ は変曲点です。）

別解

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 6 x^{2} + 3$ 、 $f^{''} (x) = 12 x^{2} - 12 x = 12 x (x - 1)$ 。 $f^{''} (x) > 0$ より $x (x - 1) > 0$ なので $x < 0$ または $x > 1$ 。
検算： $x = - 1$ のとき $f^{''} = 24 > 0$ 、 $x = 2$ のとき $f^{''} = 24 > 0$ 、 $x = \frac{1}{2}$ のとき $f^{''} = - 3 < 0$ であり、結果と合う。

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