微分法の問題

手順 1：第 1 次導関数を求める。

商の微分の公式 ${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ より
$$y^{\prime }=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}$$
となる。

手順 2：第 2 次導関数を求める。

$y^{\prime }=\frac{1-\log x}{x^2}$ をもう一度、商の微分の公式で微分する。$(1-\log x{)}^{\prime }=-\frac{1}{x}$、$(x^2{)}^{\prime }=2x$ であるから
$$y^{\prime \prime }=\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^2-(1-\log x)\cdot 2x}{x^4}=\frac{-x-2x+2x\log x}{x^4}=\frac{x(2\log x-3)}{x^4}=\frac{2\log x-3}{x^3}$$
となる。

手順 3：$y^{\prime \prime }$ の符号を調べる。

$x>0$ より $x^3>0$ なので、$y^{\prime \prime }>0$ となる条件は
$$2\log x-3>0\text{すなわち}\log x>\frac{3}{2}$$
である。自然対数 $\log x$ は増加関数なので、これは
$$x>e^{\frac{3}{2}}$$
と同じである。

なお、$0<x<e^{\frac{3}{2}}$ では $y^{\prime \prime }<0$（グラフは上に凸）、$x>e^{\frac{3}{2}}$ では $y^{\prime \prime }>0$（グラフは下に凸）となり、$x=e^{\frac{3}{2}}$ の点が変曲点である。

以上より、求める範囲は
$$x>e^{\frac{3}{2}}$$
である。

$y=\frac{\log x}{x}$ を微分する。
$y^{\prime }=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}$

$y^{\prime \prime }=\frac{(-\frac{1}{x})x^2-(1-\log x)\cdot 2x}{x^4}=\frac{-x-2x+2x\log x}{x^4}=\frac{2\log x-3}{x^3}$

$x>0$ より $x^3>0$ なので、$y^{\prime \prime }>0$ となるのは $2\log x-3>0$、すなわち $\log x>\frac{3}{2}$ のとき。よって $x>e^{3/2}=e\sqrt{e}$。

検算：$x=e^2$ のとき $y^{\prime \prime }=\frac{4-3}{e^6}>0$。$x=e$ のとき $y^{\prime \prime }=\frac{2-3}{e^3}<0$。境界 $x=e^{3/2}$ で $y^{\prime \prime }=0$ となり、符号が変わる。