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微分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 微分法

$x > 0$ で定義された関数 $f (x) = 3^{x} + lo g x$ について、 $f^{'} (1)$ の値を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。

この問題で使うもの

指数関数・対数関数の導関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（27 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

指数関数 $a^{x}$ と自然対数 $lo g x$ の導関数の公式を使います。

ヒント 2

$(a^{x})^{'} = a^{x} lo g a$ 、 $(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$ です。和の微分は、それぞれを微分して足せばよいです。

ヒント 3

$f^{'} (x) = 3^{x} lo g 3 + \frac{1}{x}$ となります。あとは $x = 1$ を代入しましょう。

答えと解説

答えを見る

3 lo g 3 + 1

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解説を読む

指数関数・対数関数の導関数の公式を使います。

公式の確認

$a > 0, a \neq = 1$ のとき、次が成り立ちます。
$(a^{x})^{'} = a^{x} lo g a, (lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$

$(a^{x})^{'}$ の公式は、 $a^{x} = e^{x l o g a}$ と書き直すと確かめられます。 $(e^{x})^{'} = e^{x}$ と合成関数の微分を使うと
$(a^{x})^{'} = (e^{x l o g a})^{'} = e^{x l o g a} \cdot lo g a = a^{x} lo g a$
となります。

$f^{'} (x)$ を求める

和の微分は、それぞれを微分して足せばよいので
$f^{'} (x) = (3^{x})^{'} + (lo g x)^{'} = 3^{x} lo g 3 + \frac{1}{x}$
です。

$x = 1$ を代入する

$f^{'} (1) = 3^{1} lo g 3 + \frac{1}{1} = 3 lo g 3 + 1$

したがって、 $f^{'} (1) = 3 lo g 3 + 1$ です。

別解

$f (x) = 3^{x} + lo g x$ より、 $f^{'} (x) = 3^{x} lo g 3 + \frac{1}{x}$ 。よって $f^{'} (1) = 3 lo g 3 + 1$ 。検算： $(a^{x})^{'} = a^{x} lo g a$ より $a = 3$ のとき $3^{x} lo g 3$ 、 $(lo g x)^{'} = 1/ x$ で $x = 1$ を代入すると $3 lo g 3 + 1$ 。

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