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微分法

扱うテーマ: 合成関数・逆関数・積と商の微分、三角関数・指数関数・対数関数の微分、接線と法線、関数の増減・極値・グラフの凹凸、方程式・不等式への応用

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

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難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $f (x) = \frac{3 x - 1}{x ^{2} + 1}$ （ $x$ は実数）について、 $f^{'} (2)$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数全体で定義された関数 $f (x) = \frac{3 x - 1}{x ^{2} + 1}$ について、 $f^{'} (1)$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x \neq = 1$ で定義された関数 $f (x) = \frac{x ^{2} + 3}{x - 1}$ の導関数 $f^{'} (x)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $f (x) = (x^{2} - 3)^{4}$ について、 $f^{'} (2)$ の値を求めよ。ただし、 $x$ は実数とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数全体で定義された関数 $f (x) = (x^{2} + x - 1)^{5}$ について、 $f^{'} (1)$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数全体で定義された関数 $f (x) = (x^{2} + 2 x - 1)^{4}$ について、微分係数 $f^{'} (1)$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $f (x) = 3 sin x + 2 cos x + tan x$ について、微分係数 $f^{'} (\frac{π}{3})$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $f (x) = 2 sin x + tan x$ について、 $f^{'} (\frac{π}{3})$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $f (x) = sin x + 2 cos x + tan x$ について、 $f^{'} (\frac{π}{4})$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x > 0$ で定義された関数 $f (x) = 2^{x} + lo g x$ について、 $f^{'} (1)$ の値を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x > 0$ で定義された関数 $f (x) = 3^{x} + lo g x$ について、 $f^{'} (1)$ の値を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x > 0$ で定義された関数 $f (x) = 2^{x} - 3 lo g x$ の導関数 $f^{'} (x)$ を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$t$ を実数の媒介変数として、曲線が次のように表されている。
$x = t^{2} + 1, y = t^{3} - 3 t$
$t = 2$ に対応する点における $\frac{d y}{d x}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$t$ を実数の媒介変数として、曲線が
$x = t^{2} + 1, y = t^{3} - 2 t$
で表されている。 $t = 2$ に対応する点における $\frac{d y}{d x}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
媒介変数 $t$ を用いて
$x = t^{2} + 1, y = t^{3} - 2 t$
と表される曲線がある。ただし、 $t$ は実数とする。 $t = 2$ のときの $\frac{d y}{d x}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
実数全体で定義された関数 $y = (x^{2} + 1)^{x}$ について、 $x = 1$ における微分係数を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x > 0$ で定義された関数
$f (x) = x^{x}$
について、 $f^{'} (e)$ の値を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底、 $lo g$ は自然対数を表す。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x > 0$ で定義された関数 $f (x) = x^{x}$ について、 $f^{'} (e)$ の値を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底であり、対数は自然対数とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 3$ について、曲線 $y = f (x)$ の変曲点の座標を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - x + 1$ について、曲線 $y = f (x)$ の変曲点の座標を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $f (x) = x^{4} - 2 x^{3} + 3 x$ について、曲線 $y = f (x)$ が下に凸となる実数 $x$ の範囲を求めよ。ここでは、 $f^{''} (x) > 0$ を満たす $x$ の範囲を答えるものとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $f (x) = (x + 1) e^{- x}$ のグラフの変曲点の座標を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $y = (x + 1) e^{- x}$ のグラフについて、増減と凹凸を調べ、このグラフの変曲点の座標を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $y = x e^{- x}$ の増減、グラフの凹凸、漸近線を調べて、グラフの概形をかきたい。このグラフの変曲点の座標を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底であり、必要ならば $x \to \infty lim \frac{x}{e ^{x}} = 0$ を用いてよい。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $f (x) = x^{3}$ について、区間 $[0, 3]$ で平均値の定理を考える。
$\frac{f ( 3 ) - f ( 0 )}{3 - 0} = f^{'} (c), 0 < c < 3$
を満たす実数 $c$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $f (x) = x^{3} - 2 x$ と区間 $0 ≦ x ≦ 3$ について、平均値の定理
$\frac{f ( 3 ) - f ( 0 )}{3 - 0} = f^{'} (c), 0 < c < 3$
を満たす実数 $c$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $f (x) = x^{3} - 2 x$ について、区間 $- 1 ≦ x ≦ 2$ で平均値の定理を考える。
$\frac{f ( 2 ) - f ( - 1 )}{2 - ( - 1 )} = f^{'} (c), - 1 < c < 2$
を満たす実数 $c$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$k$ を実数の定数とする。すべての正の実数 $x$ に対して、不等式 $x lo g x ≧ x + k$ が成り立つような $k$ の最大値を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x > 0$ のとき、不等式 $x > 2 lo g x$ が成り立つことを示すために、差をとった関数 $f (x) = x - 2 lo g x (x > 0)$ を考える。 $f (x)$ の最小値を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
すべての正の実数 $x$ に対して、不等式
$x - lo g x ≧ k$
が成り立つような実数の定数 $k$ の最大値を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $y = lo g (x^{2} + 1)$ の増減とグラフの凹凸を調べたい。このグラフが下に凸となる（ $y^{''} > 0$ となる） $x$ の値の範囲を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $y = \frac{lo g x}{x} (x > 0)$ について、第 2 次導関数 $y^{''}$ が $y^{''} > 0$ となる $x$ の値の範囲を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
関数 $y = \frac{lo g x}{x} (x > 0)$ について、増減、グラフの凹凸、漸近線を調べてグラフの概形をかきたい。このグラフの変曲点の座標を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とし、 $e$ は自然対数の底とする。また、必要ならば $x \to \infty lim \frac{lo g x}{x} = 0$ を用いてよい。
難易度 1（教科書の例題レベル）
すべての実数 $x$ に対して不等式
$e^{x} > 2 x$
が成り立つことを示したい。そのために、差をとった関数
$f (x) = e^{x} - 2 x$
を考える。 $f (x)$ の最小値を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底とし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$x > 0$ のとき、不等式 $lo g x ≦ \frac{x}{e}$ が成り立つ。この不等式で等号が成り立つような $x$ の値を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数、 $e$ は自然対数の底とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$k$ を実数の定数とする。すべての実数 $x$ に対して、不等式 $e^{x} ≧ 2 x + k$ が成り立つような $k$ の最大値を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
関数 $f (x) = x^{2} e^{- x}$ について、曲線 $y = f (x)$ が上に凸となる $x$ の範囲を求めよ。ここでは、 $f^{''} (x) < 0$ を満たす $x$ の範囲を答えるものとする。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
関数 $f (x) = e^{2 x} sin x$ について、すべての実数 $x$ に対して
$f^{''} (x) - a f^{'} (x) + b f (x) = 0$
が成り立つような定数 $a, b$ の値を求めよ。答えは組 $(a, b)$ の形で答えよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
関数 $f (x) = e^{2 x} cos x$ について、すべての実数 $x$ で
$f^{''} (x) + a f^{'} (x) + b f (x) = 0$
が成り立つような定数 $a, b$ の値を求めよ。答えは $(a, b)$ の組で答えよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$x > 0$ を満たすすべての実数 $x$ に対して、不等式
$lo g x \leq a x$
が成り立つような実数 $a$ の最小値を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
関数 $f (x) = x^{3} + x$ の逆関数を $g (x)$ とする。関数
$h (x) = \frac{{ g ( x ) } ^{2}}{x} (x > 0)$
について、 $h^{'} (10)$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
関数 $f (x) = (x^{2} - 2) e^{- x}$ について、 $f^{'} (x) < 0$ かつ $f^{''} (x) > 0$ を満たす実数 $x$ の範囲を求めよ。これは、 $f (x)$ が減少していて、しかも曲線 $y = f (x)$ が下に凸になっている範囲である。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
曲線 $C : y = x e^{x}$ 上の点 $P (1, e)$ における $C$ の接線を $ℓ$ 、法線を $m$ とする。2 直線 $ℓ$ , $m$ と $y$ 軸で囲まれる三角形の面積 $S$ を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底である。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
実数全体で定義された関数
$f (x) = \frac{x}{x ^{2} + 1}$
を考える。合成関数 $h (x) = f (f (x))$ について、 $h^{'} (2)$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$x > 0$ で定義された関数
$f (x) = x^{s i n x}$
について、 $f^{'} (\frac{π}{2})$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$k$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$x lo g x = k (x > 0)$
が異なる $2$ つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とし、 $x \to + 0 lim x lo g x = 0$ であることを用いてよい。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
実数全体で定義された関数 $f (x) = x^{3} e^{- x}$ を考える。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。曲線 $y = f (x)$ の変曲点の $x$ 座標をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。すべての実数 $x$ に対して不等式
$e^{x} \geq a (x + 2)$
が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
関数 $f (x) = x^{3} + 2 x - 1$ （ $x$ は実数）の逆関数を $g (x)$ とする。また、 $x \neq = 0$ である実数 $x$ に対して
$h (x) = \frac{g ( x ^{2} + 1 )}{x}$
と定める。 $h^{'} (1)$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$a$ を実数の定数とする。すべての正の実数 $x$ に対して、不等式
$lo g x \leq a x$
が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。ただし、対数は自然対数とする。
難易度 3（共通テストレベル）
実数全体で定義された関数 $f (x) = x^{3} + 2 x + 3$ の逆関数を $g (x)$ とする。さらに、 $x > 0$ において関数 $h (x)$ を
$h (x) = \frac{g ( x ^{2} + 2 )}{x}$
で定める。このとき、 $h^{'} (2)$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$x > 0$ で定義された関数
$f (x) = \frac{( lo g x ) ^{2}}{x}$
を考える。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。 $f^{'} (x) > 0$ かつ $f^{''} (x) < 0$ を満たす実数 $x$ の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
曲線 $C : y = \frac{1}{x} (x \neq = 0)$ 上の点 $P (t, \frac{1}{t})$ を考える。ただし $t$ は正の実数とする。点 $P$ における $C$ の法線は、 $P$ 以外のもう 1 点 $Q$ で $C$ と交わる。 $t$ が正の実数全体を動くとき、線分 $PQ$ の長さの最小値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$k$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$x + 2 cos x = k (0 ≦ x ≦ 2 π)$
が異なる実数解をちょうど $3$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
関数 $f (x) = e^{c o s x} sin x (0 ≦ x ≦ π)$ の最大値を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。
難易度 3（共通テストレベル）
曲線 $C : y = lo g x (x > 0)$ 上の点 $P (t, lo g t)$ を考える。ただし、 $t$ は正の実数であり、 $lo g$ は自然対数とする。点 $P$ における $C$ の接線を $ℓ$ 、法線を $m$ とし、 $ℓ$ と $y$ 軸の交点を $A$ 、 $m$ と $y$ 軸の交点を $B$ とする。三角形 $PAB$ の面積が $5$ となるような $t$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
曲線 $C : y = e^{- x}$ 上の点 $P (t, e^{- t})$ における $C$ の接線を $ℓ$ とする。ただし、 $t$ は正の実数とし、 $e$ は自然対数の底とする。 $ℓ$ と $x$ 軸の交点を $Q$ 、 $ℓ$ と $y$ 軸の交点を $R$ 、原点を $O$ とする。 $t$ が正の実数全体を動くとき、三角形 $OQR$ の面積の最大値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
関数 $f (x) = sin^{3} x cos x (0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})$ の最大値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
曲線 $C : y = \frac{lo g x}{x} (x > 0)$ を考える。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。 $b$ を実数の定数とし、 $y$ 軸上の点 $B (0, b)$ を通る $C$ の接線がちょうど $2$ 本存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。なお、必要ならば $x \to \infty lim \frac{lo g x}{x} = 0$ を用いてよい。
難易度 3（共通テストレベル）
$x ≧ 0$ で定義された関数 $f (x)$ は $2$ 回微分可能で、 $f (0) = 1$ であり、 $x > 0$ で $f^{'} (x) > 0$ を満たす。曲線 $C : y = f (x)$ 上のどの点 $P (t, f (t))$ $(t ≧ 0)$ についても、点 $M (t, 0)$ と、 $P$ における $C$ の接線との距離が $1$ であるという。 $f (lo g 2)$ の値を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$k$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$e^{x} sin x = k (0 ≦ x ≦ 3 π)$
が、異なる実数解をちょうど $2$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$k$ を実数の定数とする。 $x$ についての方程式
$4 e^{x} = k (4 x^{2} + 3)$
が異なる 3 つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。ただし、 $e$ は自然対数の底であり、 $x \to \infty lim \frac{e ^{x}}{x ^{2}} = \infty$ を用いてよい。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
実数全体で定義された関数
$f (x) = x + lo g (1 + x^{2})$
を考える。ただし、 $lo g$ は自然対数である。 $f (x)$ は実数全体で単調に増加するので、逆関数 $g (x)$ をもつ。このとき、 $g^{''} (2 + lo g 5)$ の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
曲線 $C : y = \frac{1}{1 + x ^{2}}$ と、 $y$ 軸上の点 $A (0, b)$ を考える。ただし $b$ は実数の定数とする。点 $A$ を通る $C$ の接線がちょうど $4$ 本存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とし、 $x > 0$ で定義された関数
$f (x) = (x^{2} + a) e^{- x}$
を考える。 $x > 0$ において $f (x)$ が極値をちょうど $1$ つもち、かつ曲線 $y = f (x) (x > 0)$ が変曲点をちょうど $2$ つもつような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
関数 $f (x) = x^{2} e^{2 x}$ （ $x$ は実数）を考える。正の整数 $n$ に対して、 $f (x)$ の第 $n$ 次導関数を $f^{(n)} (x)$ で表す。方程式 $f^{(n)} (x) = 0$ は異なる $2$ つの実数解をもつ。それらを $α_{n}, β_{n} (α_{n} < β_{n})$ とするとき、 $β_{n} - α_{n}$ を $n$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を $a > 1$ を満たす定数とし、実数全体で定義された関数
$f (x) = x - a lo g (1 + x^{2})$
を考える。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。 $a > 1$ のとき、 $f (x)$ は極大値と極小値をちょうど $1$ つずつもつ。 $f (x)$ の極大値から極小値を引いた差が $\frac{2}{e}$ となるような $a$ の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
実数全体で定義された関数
$f (x) = lo g (x + x^{2} + 1)$
を考える。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。 $f (x)$ を $7$ 回微分して得られる第 $7$ 次導関数を $f^{(7)} (x)$ と表すとき、 $f^{(7)} (0)$ の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
曲線 $C : y = lo g x (x > 0)$ と点 $A (3, b)$ を考える。ただし、 $b$ は実数の定数であり、 $lo g$ は自然対数である。点 $A$ を通る $C$ の法線がちょうど $3$ 本存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を $0$ でない実数の定数とし、実数全体で定義された関数
$f (x) = (x^{2} + a x + 1) e^{- x}$
を考える。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。 $f (x)$ の極小値を $m (a)$ とする。 $a$ が $0$ でない実数全体を動くとき、 $m (a)$ の最大値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$x > \frac{1}{e}$ で定義された関数 $f (x) = x^{x}$ を考える。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。 $f (x)$ は $x > \frac{1}{e}$ で単調に増加するので逆関数をもつ。その逆関数を $g (x)$ とするとき、 $g (x)$ の第 $3$ 次導関数 $g^{'''} (x)$ の $x = 1$ における値 $g^{'''} (1)$ を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を正の定数とする。すべての正の実数 $x$ に対して、不等式 $lo g (1 + x) > \frac{x}{1 + a x}$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。ただし、 $lo g$ は自然対数とする。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とする。 $0 ≦ x ≦ π$ を満たすすべての実数 $x$ に対して、不等式 $sin x ≧ a x (π - x)$ が成り立つような $a$ の最大値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$a$ を実数の定数とし、 $x ≧ 0$ で定義された関数 $f (x) = e^{x} - a cos x$ を考える。ただし、 $e$ は自然対数の底とする。 $x ≧ 0$ のすべての実数 $x$ に対して $f^{'} (x) ≧ 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
実数全体で定義された関数 $f (x) = \frac{1}{x ^{2} + 1}$ を考える。 $n$ を正の整数とし、 $f (x)$ の第 $n$ 次導関数を $f^{(n)} (x)$ で表す。方程式 $f^{(n)} (x) = 0$ の異なる実数解すべてについて、その $2$ 乗の和を $n$ の式で表せ。