微分法の問題

グラフの概形を調べる手順は、(i) $f^{\prime }(x)$ を求めて増減を調べる、(ii) $f^{\prime \prime }(x)$ を求めて凹凸を調べる、(iii) 定義域の端での極限から漸近線を調べる、の 3 段階です。この問題で問われている変曲点は (ii) で求まります。

(i) 増減
積の微分と $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$ を使うと
$$f^{\prime }(x)=1\cdot e^{-x}+(x+1)\cdot (-e^{-x})=-x{e}^{-x}$$
$e^{-x}>0$ なので、$f^{\prime }(x)$ の符号は $-x$ の符号と同じです。よって $x<0$ で $f^{\prime }(x)>0$（増加）、$x>0$ で $f^{\prime }(x)<0$（減少）となり、$x=0$ で極大値 $f(0)=1$ をとります。

(ii) 凹凸
$f^{\prime }(x)=-x{e}^{-x}$ をもう一度微分すると
$$f^{\prime \prime }(x)=-1\cdot e^{-x}+(-x)\cdot (-e^{-x})=(x-1)e^{-x}$$
$e^{-x}>0$ なので、$f^{\prime \prime }(x)$ の符号は $x-1$ の符号と同じです。
- $x<1$ のとき $f^{\prime \prime }(x)<0$ なので、グラフは上に凸
- $x>1$ のとき $f^{\prime \prime }(x)>0$ なので、グラフは下に凸

$x=1$ の前後で凹凸が入れかわるので、$x=1$ に対応する点が変曲点です。
$$f(1)=(1+1)e^{-1}=\frac{2}{e}$$

増減表にまとめると次のようになります。
$$\begin{array}{cccccc}x& \cdots & 0& \cdots & 1& \cdots \\ f^{\prime }(x)& +& 0& -& -& -\\ f^{\prime \prime }(x)& -& -& -& 0& +\\ f(x)& \text{増加・上に凸}& 1& \text{減少・上に凸}& \frac{2}{e}& \text{減少・下に凸}\end{array}$$

(iii) 漸近線（グラフをかくときの参考）
$x\to \infty$ のとき $f(x)=\frac{x+1}{e^x}\to 0$ なので、直線 $y=0$（$x$ 軸）が漸近線です。また $x\to -\infty$ のとき $f(x)\to -\infty$ です。

したがって、変曲点の座標は $\left(1,\frac{2}{e}\right)$ です。

$f(x)=(x+1)e^{-x}$ とする。

$f^{\prime }(x)=e^{-x}-(x+1)e^{-x}=-x{e}^{-x}$

$f^{\prime \prime }(x)=-e^{-x}+x{e}^{-x}=(x-1)e^{-x}$

$e^{-x}>0$ より、$f^{\prime \prime }(x)$ の符号は $x-1$ の符号と一致する。$x<1$ で $f^{\prime \prime }(x)<0$（上に凸）、$x>1$ で $f^{\prime \prime }(x)>0$（下に凸）となり、$x=1$ の前後で符号が変わる。よって変曲点は $x=1$ にある。

$f(1)=2e^{-1}=\frac{2}{e}$

検算：$x=0$ で $f^{\prime \prime }(0)=-1<0$、$x=2$ で $f^{\prime \prime }(2)=e^{-2}>0$ となり、符号の変化を確認できた。

よって変曲点は $\left(1,\frac{2}{e}\right)$。