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微分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 微分法

関数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 3$ について、曲線 $y = f (x)$ の変曲点の座標を求めよ。

この問題で使うもの

多項式の微分（説明と入口の問題）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（31 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

第 2 次導関数 $f^{''} (x)$ を求め、その符号の変化から曲線の凹凸を調べましょう。凹凸が入れかわる点が変曲点です。

ヒント 2

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 5$ をもう一度微分して $f^{''} (x)$ を求め、 $f^{''} (x) = 0$ となる $x$ の前後で符号が変わるかを確かめます。

ヒント 3

$f^{''} (x) = 6 x - 12$ なので、 $x = 2$ の前後で $f^{''} (x)$ の符号は負から正に変わります。あとは $f (2)$ を計算します。

答えと解説

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(2, - 3)

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解説を読む

手順 1：第 2 次導関数を求める。

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 5 x + 3$ を微分すると
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 5$
となります。これをもう一度微分すると
$f^{''} (x) = 6 x - 12 = 6 (x - 2)$
となります。

手順 2： $f^{''} (x)$ の符号を調べる。

$f^{''} (x) = 0$ となるのは $x = 2$ のときです。

$x < 2$ のとき $f^{''} (x) < 0$ なので、曲線は上に凸です。
$x > 2$ のとき $f^{''} (x) > 0$ なので、曲線は下に凸です。

$x$	$\dots$	$2$	$\dots$
$f^{''} (x)$	$-$	$0$	$+$
凹凸	上に凸	変曲点	下に凸

手順 3：変曲点を求める。

$x = 2$ の前後で $f^{''} (x)$ の符号が負から正に変わり、凹凸が入れかわります。したがって、 $x = 2$ に対応する曲線上の点が変曲点です。
$f (2) = 2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2 + 3 = 8 - 24 + 10 + 3 = - 3$

よって、変曲点の座標は $(2, - 3)$ です。

別解

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 5$ 、 $f^{''} (x) = 6 x - 12$ 。 $f^{''} (x) = 0$ より $x = 2$ 。 $x < 2$ で $f^{''} < 0$ 、 $x > 2$ で $f^{''} > 0$ なので $x = 2$ の前後で符号が変わり、変曲点である。 $f (2) = 8 - 24 + 10 + 3 = - 3$ 。よって変曲点は $(2, - 3)$ 。検算： $x = 1$ のとき $f^{''} = - 6 < 0$ 、 $x = 3$ のとき $f^{''} = 6 > 0$ で符号変化を確認した。

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