微分法の問題

三角関数の導関数の公式
$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x,(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$
を使います。

手順1：導関数を求める

微分の線形性（定数倍・和はそれぞれ微分してよい）より、
$$f^{\prime }(x)=2(\sin x{)}^{\prime }+(\tan x{)}^{\prime }=2\cos x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$
となります。

手順2：$x=\frac{\pi }{3}$ を代入する

$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ なので、${\cos }^2\frac{\pi }{3}=\frac{1}{4}$ です。よって
$$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=2\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{4}}=1+4=5$$

したがって、求める値は $5$ です。

$f^{\prime }(x)=2\cos x+\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ である。$x=\frac{\pi }{3}$ のとき $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ なので、$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)=2\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{(1/2{)}^2}=1+4=5$。検算：$\tan x$ の導関数は $1+{\tan }^{2}x$ でもあり、$\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$ より $1+3=4$ となり、$1+4=5$ で一致する。