多項式の微分

$u=u(x,t)$ を $x\in \mathbb{R}$, $t\ge 0$ で定義された $C^1$ 級の関数とする。1 階線形偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+t{u}_x=-u(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=x^2(x\in \mathbb{R})$$
の解 $u(x,t)$ を、特性曲線の方法を用いて $x,t$ の式で求めよ。

関数 $f(x)=2x^3+3x^2-5x+4$ の導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めよ。

関数 $$f(x)=x^3+4x^2-6x+1$$ の導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めよ。

関数 $f(x)=2x^3-5x^2+4x-7$ の導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めよ。

曲線 $y=x^3-2x^2+3$ 上の点 $(2,3)$ における接線の方程式を求めよ。答えは $y=(x\text{ の式})$ の形で表し、右辺の式を答えよ。

曲線 $y=x^3-3x+1$ 上の点 $(2,3)$ における接線の方程式を求めよ。答えは $y=ax+b$ の形で表し、右辺 $ax+b$ を答えよ。

曲線 $y=x^3-2x$ 上の点 $(1,-1)$ における接線の方程式を求めよ。答えは $y=mx+n$ の形に整理し、右辺の式 $mx+n$ を答えよ。

関数 $$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$$ の極大値と極小値を、この順に求めよ。

関数 $$f(x)=2x^3+3x^2-12x+1$$ の極大値と極小値を、この順に求めよ。

関数 $$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$$ の極大値と極小値を、この順に求めよ。

関数 $f(x)=2x^3-3x^2-12x$ の $-2\le x\le 3$ における最大値と最小値を、この順に求めよ。

関数 $$f(x)=-x^3+3x^2+9x-2$$ の $-2\le x\le 4$ における最大値と最小値を、この順に求めよ。

関数 $f(x)=2x^3-3x^2-12x+1$ の $-2\le x\le 3$ における最小値を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式 $$x^3-3x^2=k$$ が異なる $3$ つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ の $3$ 次方程式 $$x^3-3x^2-9x-k=0$$ が異なる $3$ つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ の方程式
$$2x^3+3x^2-12x-k=0$$
が異なる $3$ つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。

関数 $$f(x)=\frac{3x-1}{x^2+1}$$（$x$ は実数）について、$f^{\prime }(2)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $$f(x)=\frac{3x-1}{x^2+1}$$ について、$f^{\prime }(1)$ の値を求めよ。

$x\ne 1$ で定義された関数 $$f(x)=\frac{x^2+3}{x-1}$$ の導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めよ。

関数 $$f(x)=(x^2-3{)}^4$$ について、$f^{\prime }(2)$ の値を求めよ。ただし、$x$ は実数とする。

実数全体で定義された関数 $$f(x)=(x^2+x-1{)}^5$$ について、$f^{\prime }(1)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $$f(x)=(x^2+2x-1{)}^4$$ について、微分係数 $f^{\prime }(1)$ の値を求めよ。

関数 $f(x)=2\sin x+\tan x$ について、$f^{\prime }\left(\frac{\pi }{3}\right)$ の値を求めよ。

$x>0$ で定義された関数 $$f(x)=2^x-3\log x$$ の導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

$t$ を実数の媒介変数として、曲線が次のように表されている。
$$x=t^2+1,y=t^3-3t$$
$t=2$ に対応する点における $\frac{dy}{dx}$ の値を求めよ。

$t$ を実数の媒介変数として、曲線が
$$x=t^2+1,y=t^3-2t$$
で表されている。$t=2$ に対応する点における $\frac{dy}{dx}$ の値を求めよ。

媒介変数 $t$ を用いて
$$x=t^2+1,y=t^3-2t$$
と表される曲線がある。ただし、$t$ は実数とする。$t=2$ のときの $\frac{dy}{dx}$ の値を求めよ。

関数 $f(x)=x^3-6x^2+5x+3$ について、曲線 $y=f(x)$ の変曲点の座標を求めよ。

関数 $f(x)=x^3+3x^2-x+1$ について、曲線 $y=f(x)$ の変曲点の座標を求めよ。

関数 $f(x)=x^4-2x^3+3x$ について、曲線 $y=f(x)$ が下に凸となる実数 $x$ の範囲を求めよ。ここでは、$f^{\prime \prime }(x)>0$ を満たす $x$ の範囲を答えるものとする。

関数 $f(x)=x^3$ について、区間 $[0,3]$ で平均値の定理を考える。
$$\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=f^{\prime }(c),0<c<3$$
を満たす実数 $c$ の値を求めよ。

関数 $f(x)=x^3-2x$ と区間 $0\leqq x\leqq 3$ について、平均値の定理
$$\frac{f(3)-f(0)}{3-0}=f^{\prime }(c),0<c<3$$
を満たす実数 $c$ の値を求めよ。

関数 $f(x)=x^3-2x$ について、区間 $-1\leqq x\leqq 2$ で平均値の定理を考える。
$$\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=f^{\prime }(c),-1<c<2$$
を満たす実数 $c$ の値を求めよ。

連続な関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x$ について
$${\int }_0^{x}f(t)dt=x^3+\sin 2x$$
を満たしている。$f(x)$ を求めよ。

曲線 $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}(0\leqq x\leqq 8)$$ の長さ $L$ を求めよ。

$x,y$ を実数とし、2 変数関数
$$f(x,y)=x^3{y}^2-4xy+y^3$$
を考える。点 $(1,2)$ における偏微分係数 $f_x(1,2)$ と $f_y(1,2)$ を求め、組 $(f_x(1,2),f_y(1,2))$ の形で答えよ。

関数 $z=x^{2}y$ において、$x$ と $y$ が実数 $t$ の関数として
$$x=t+1,y=t^2$$
で与えられているとする。多変数の連鎖律を用いて、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

実数 $x,y$ の関数 $z=x^{2}y$ を考える。実数 $t$ について $x=t^2+1,y=t^3$ とおくと、$z$ は $t$ の関数になる。このとき、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $B_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、
$$X_t=t^2{B}_t^3(t\ge 0)$$
とおく。$X_t$ は、多項式 $\mu (t,x)$, $\sigma (t,x)$ を用いて
$$d{X}_t=\mu (t,B_t)dt+\sigma (t,B_t)d{B}_t$$
と表される。このときのドリフト係数 $\mu (t,x)$ を $t$, $x$ の式で求めよ。

$(B_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $B_0=0$ を満たす $1$ 次元標準ブラウン運動とし、
$$X_t=e^t{B}_t^2(t\ge 0)$$
とおく。伊藤の公式により、$X_t$ は $2$ 変数の連続関数 $\mu (t,x)$, $\sigma (t,x)$ を用いて
$$d{X}_t=\mu (t,B_t)dt+\sigma (t,B_t)d{B}_t$$
の形に表される。このときのドリフト係数 $\mu (t,x)$ を $t$, $x$ の式で求めよ。

閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなすノルム空間 $C[0,1]$ を考える。ノルムは上限ノルム
$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{0\le x\le 1}{\max }|f(x)|$$
とする。関数 $f(x)=x-x^3$ に対して、$\Vert f{\Vert }_{\infty }$ の値を求めよ。

曲線 $y=x^3-3x$ 上の点で、その点における接線の傾きが $9$ となるような点の $x$ 座標をすべて求めよ。

$a,b$ は実数の定数とする。関数
$$f(x)=2x^3+a{x}^2+bx+1$$
が $x=-1$ で極大値 $8$ をとるとき、$f(x)$ の極小値を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-3x^2+2$ 上の点 $\mathrm{A}(3,2)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。$\ell$ と $C$ の共有点のうち、点 $\mathrm{A}$ 以外の点の座標を求めよ。

$a,b$ を実数の定数とし、関数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx$ を考える。$f(x)$ が次の 2 つの条件を満たすとき、$a,b$ の値の組 $(a,b)$ を求めよ。

$(1)$ $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+2h)-f(1-h)}{h}=9$

$(2)$ $f^{\prime }(-1)=f^{\prime }(3)$

曲線 $C:y=x^3-3x^2+x+2$ 上の点 $\mathrm{A}(2,0)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。$\ell$ と $C$ の共有点のうち、$\mathrm{A}$ 以外の点の座標を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-3x^2+2$ 上の点 $\mathrm{P}(-1,-2)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。曲線 $C$ と接線 $\ell$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$x^3-6x^2+9x-a=0$$
の異なる実数解がちょうど $2$ 個となるような $a$ の値をすべて求めよ。

$a,b$ を実数の定数とする。関数 $f(x)=2x^3+a{x}^2+bx$ が $x=2$ で極小値 $-20$ をとるとき、$f(x)$ の極大値を求めよ。

関数 $f(x)=x^3+x$ の逆関数を $g(x)$ とする。関数
$$h(x)=\frac{\{g(x){\}}^2}{x}(x>0)$$
について、$h^{\prime }(10)$ の値を求めよ。

媒介変数 $t$ を用いて
$$x=3t^2,y=2t^3(0\leqq t\leqq 2\sqrt{2})$$
と表される曲線の長さ $L$ を求めよ。

曲線 $$y=\frac{x^2}{4}-\frac{1}{2}\log x(1\leqq x\leqq e)$$ の長さ $L$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数、$e$ は自然対数の底とする。

体積 $V$ の空洞の中の電磁波（光子気体）が、壁と温度 $T$ で熱平衡にある。単位体積あたり、角振動数が $\omega$ と $\omega +d\omega$ の間にある放射のエネルギーはプランクの式
$$u(\omega )d\omega =\frac{\hslash }{{\pi }^2{c}^3}\frac{{\omega }^3}{e^{\hslash \omega /k_{B}T}-1}d\omega$$
で与えられる（$c$ は真空中の光速、$k_B$ はボルツマン定数）。必要なら ${\int }_0^{\infty }\frac{x^3}{e^x-1}dx=\frac{{\pi }^4}{15}$ を用いよ。体積 $V$ を一定に保ったときの熱容量から、$T\to 0$ でエントロピーが $0$ になること（熱力学第 3 法則）を用いて、この光子気体のエントロピー $S$ を $V$, $T$, $k_B$, $\hslash$, $c$ を用いて表せ。

${\mathbb{R}}^3$ 内の曲線
$$c(t)=\left(2t,t^2,\log t\right)(t>0)$$
を考える。${\mathbb{R}}^3$ には標準内積と標準的な向きを入れ、ねじれ率 $\tau$ は $\tau =\frac{\det (c^{\prime },c^{\prime \prime },c^{\prime \prime \prime })}{|c^{\prime }\times c^{\prime \prime }{|}^2}$ と符号を定める。$t=1$ に対応する点 $(2,1,0)$ における曲率 $\kappa$ とねじれ率 $\tau$ を、組 $(\kappa ,\tau )$ の形でこの順に求めよ。

ある動物の個体数密度を $x(t)$（$t\geqq 0$ は時刻）とする。個体数が少なすぎると繁殖相手が見つかりにくくなる効果（アリー効果）を取り入れて、$x(t)$ が微分方程式
$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{20}x(x-2)(10-x)$$
に従うとする。ここで $x$ は 0 以上の実数とする。

この微分方程式の $x\geqq 0$ における平衡点のうち、漸近安定なものをすべて求めよ。

$2$ 次実対称行列
$$X=\left(\begin{array}{cc}{x}_{11}& x_{12}\\ x_{12}& x_{22}\end{array}\right)$$
を変数とする次の半正定値計画問題 $(\mathrm{P})$ を考える。ここで $X⪰O$ は $X$ が半正定値であることを表す。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}4x_{11}+x_{22}\text{subject to}{x}_{12}=3,x_{11}\ge 2,X⪰O.$$
$(\mathrm{P})$ の最適値を求めよ。

$x>0$ で定義された実数値関数 $f(x)=\frac{1}{x}$ について、3 点 $x=1,2,4$ における値を通る次数 $2$ 以下の補間多項式を $p(x)$ とする。補間誤差の公式によれば、ある実数 $\xi$（$1<\xi <4$）が存在して
$$f(3)-p(3)=\frac{f^{\prime \prime \prime }(\xi )}{3!}(3-1)(3-2)(3-4)$$
が成り立つ。この関係式を満たす $\xi$（$1<\xi <4$）はただ 1 つに定まる。$p(3)$ の値と $\xi$ の値を、この順に組 $(p(3),\xi )$ として求めよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^3-2x-2$ を考える。$f(1)<0<f(2)$ であり、$[1,2]$ において $f^{\prime }(x)=3x^2-2>0$ であるから、方程式 $f(x)=0$ は区間 $[1,2]$ にただ 1 つの実数解 $\alpha$ をもつ。

まず、$a_0=1,b_0=2$ として二分法を次のように行う。$k=0,1,2,\dots$ に対し $c_k=\frac{a_k+b_k}{2}$ とおき、$f(a_k)f(c_k)<0$ ならば $a_{k+1}=a_k,b_{k+1}=c_k$、そうでなければ $a_{k+1}=c_k,b_{k+1}=b_k$ とする。

次に、二分法を 3 回行って得られた $a_3$ を初期値 $x_0=a_3$ として、ニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$$
を 1 回だけ適用した値を $x_1$ とする。

また、$b_N-a_N\leqq 10^{-3}$ を満たす最小の正の整数 $N$ を考える。

$x_1$ と $N$ を、この順に組 $(x_1,N)$ で答えよ。ただし $x_1$ は既約分数で答えよ。

多項式 $$p(z)=3z^4-4z^3-12z^2$$ を考え、$t=p(z)$ とおく。体の拡大 $\mathbb{C}(z)/\mathbb{C}(t)$ は次数 $4$ の有限次分離拡大である。その（$\mathbb{C}(z)$ を含む）ガロア閉包を $L$ とし、$L$ を関数体とするコンパクトリーマン面を $X$ とする。$X$ の種数 $g(X)$ を求めよ。

理論オットーサイクル（空気標準サイクル）を考える。作動流体は定積比熱 $c_v$ が一定の理想気体で、比熱比を $\kappa =1.4$ とする。作動流体の量は一定で、サイクルは次の 4 つの可逆過程からなる。

• 状態 1 → 2: 断熱圧縮
• 状態 2 → 3: 等積加熱
• 状態 3 → 4: 断熱膨張
• 状態 4 → 1: 等積放熱

圧縮始めの温度を $T_1=300\text{K}$、サイクルの最高温度（状態 3 の温度）を $T_3=1500\text{K}$ に固定し、圧縮比 $\epsilon =V_1/V_2$（$\epsilon >1$、ただし $T_2<T_3$ となる範囲）だけを変える。作動流体の単位質量あたりの正味仕事が最大になるように $\epsilon$ を選んだとき、このサイクルの理論熱効率を求めよ。答えは根号を含む正確な値で示せ。

一様な密度 $\rho$ の静止した空気中の 1 点で、時刻 $t=0$ に大きさ $E$ のエネルギーが瞬間的に放出され、球面状の強い衝撃波が広がっていく。周囲の空気の圧力の影響は無視でき、空気の比熱比は一定とする。このとき、時刻 $t(>0)$ における衝撃波の半径 $R$ は $E$, $\rho$, $t$ だけで決まり、
$$R=C{E}^a{\rho }^b{t}^c$$
の形に書けるとする。ここで $C$ は正の無次元定数（比熱比によって決まる）、$a$, $b$, $c$ は実数の定数である。

次元解析により $a$, $b$, $c$ を決めたうえで、衝撃波の半径がちょうど $R$ になった瞬間の衝撃波面の広がる速さ $U=\frac{dR}{dt}$ を、$C$, $E$, $\rho$, $R$ を用いて表せ。

$a$ を実数の定数とし、関数
$$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax$$
を考える。$f(x)$ が極大値と極小値をもち、かつ（極大値）$-$（極小値）$=8$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。

曲線 $C:y=x^3-4x$ がある。点 $\mathrm{A}(0,-2)$ から曲線 $C$ に引いた接線を $\ell$ とする。曲線 $C$ と接線 $\ell$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-4x+1$ を考える。$C$ 上の点 $\mathrm{P}(1,-2)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。$\ell$ と $C$ の共有点のうち、$\mathrm{P}$ と異なる点を $\mathrm{Q}$ とする。点 $\mathrm{Q}$ における $C$ の接線の方程式を $y=ax+b$ の形で求めよ。答えは右辺の式 $ax+b$ で答えよ。

放物線 $y=4-x^2$ と $x$ 軸の交点を $\mathrm{A}(-2,0)$, $\mathrm{B}(2,0)$ とする。実数 $t$ が $0<t<2$ の範囲を動くとき、放物線上の 2 点 $\mathrm{P}(t,4-t^2)$, $\mathrm{Q}(-t,4-t^2)$ をとる。四角形 $\mathrm{ABPQ}$ の面積の最大値を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-3x^2+x$ 上の点 $\mathrm{P}(2,-2)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。曲線 $C$ と接線 $\ell$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

$a$ を $a>1$ を満たす実数の定数とし、関数
$$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax$$
を考える。$f(x)$ の極大値と極小値の差が $27$ であるとき、$f(x)$ の極小値を求めよ。

整式で表される関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x$ に対して
$$x{f}^{\prime }(x)-2f(x)=x^3-4x+6$$
を満たし、さらに
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2-3h)}{h}=32$$
を満たすとする。このとき、$f(3)$ の値を求めよ。

整式 $f(x)$ は、すべての実数 $x$ に対して
$$f(x)+(x-1)f^{\prime }(x)=6x^2-2x+1$$
を満たしている。このとき、極限値
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+3h)-f(1-h)}{h}$$
を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-4x^2+3x$ 上の点 $\mathrm{P}(3,0)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。曲線 $C$ と直線 $\ell$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

関数 $f(x)=x^3+2x-1$ （$x$ は実数）の逆関数を $g(x)$ とする。また、$x\ne 0$ である実数 $x$ に対して
$$h(x)=\frac{g(x^2+1)}{x}$$
と定める。$h^{\prime }(1)$ の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $f(x)=x^3+2x+3$ の逆関数を $g(x)$ とする。さらに、$x>0$ において関数 $h(x)$ を
$$h(x)=\frac{g(x^2+2)}{x}$$
で定める。このとき、$h^{\prime }(2)$ の値を求めよ。

曲線 $C:y=\frac{1}{x}(x\ne 0)$ 上の点 $\mathrm{P}\left(t,\frac{1}{t}\right)$ を考える。ただし $t$ は正の実数とする。点 $\mathrm{P}$ における $C$ の法線は、$\mathrm{P}$ 以外のもう 1 点 $\mathrm{Q}$ で $C$ と交わる。$t$ が正の実数全体を動くとき、線分 $\mathrm{PQ}$ の長さの最小値を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$x+2\cos x=k(0\leqq x\leqq 2\pi )$$
が異なる実数解をちょうど $3$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。

座標平面上の曲線 $C$ を、媒介変数 $t$ を用いて
$$x=t^2,y=t-\frac{t^3}{3}(0\le t\le \sqrt{3})$$
で定める。曲線 $C$ を $x$ 軸のまわりに 1 回転させてできる曲面の面積 $S$ を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する減衰項付きの準線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=-u(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=-3\arctan x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。特性曲線の方法により、この問題は十分小さい $T>0$ に対して $\mathbb{R}\times [0,T)$ 上で $C^1$ 級の解（古典解）をただ 1 つもつ。
$$T^{\ast }=\sup \{T>0\mid \mathbb{R}\times [0,T)\text{ 上で }{C}^1\text{ 級の解が存在する}\}$$
とおくとき、$T^{\ast }$ を求めよ。ただし $T^{\ast }=\infty$ となる場合は $\infty$ と答えよ。

実数 $x$ の関数 $f(x)=x^3-3x+2$ に対し、ニュートン法
$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}(n=0,1,2,\dots )$$
を初期値 $x_0=2$ で適用する。このとき数列 $(x_n)$ は $f$ の零点 $x=1$ に収束し、すべての $n$ で $x_n>1$ となることが知られている。

$x_2$ の値と、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-1}{x_n-1}$$
の値を、この順に組で求めよ。$x_2$ は既約分数で答えよ。

$a>0$ を定数とし、円柱面 $Z=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x^2+y^2=a^2\}$ を考える。$I\subset \mathbb{R}$ を開区間、$\gamma =({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3):I\to {\mathbb{R}}^3$ を弧長でパラメータ付けられた（すべての $s$ で $|{\gamma }^{\prime }(s)|=1$ の）$C^{\infty }$ 級の曲線で、すべての $s\in I$ で $\gamma (s)\in Z$ を満たすものとし、その曲率を $\kappa (s)=|{\gamma }^{\prime \prime }(s)|$ とする。

なお、$C^{\infty }$ 級の写像 $\sigma :I\to {\mathbb{R}}^2$ がすべての $s$ で $|\sigma (s)|=a$ を満たすならば、$C^{\infty }$ 級の関数 $\theta :I\to \mathbb{R}$ があって $\sigma (s)=(a\cos \theta (s),a\sin \theta (s))$ と書けることは用いてよい。

次の 2 つを証明せよ。
- すべての $s\in I$ で $\kappa (s)\ge \frac{1-{\gamma }_3^{\prime }(s{)}^2}{a}$ が成り立つ。
- この不等式の等号がすべての $s\in I$ で成り立つための必要十分条件は、${\omega }^2{a}^2+c^2=1$ を満たす実数の定数 $c,\omega$ と実数の定数 $\phi ,d$ があって、すべての $s\in I$ で
$$\gamma (s)=(a\cos (\omega s+\phi ),a\sin (\omega s+\phi ),cs+d)$$
と書けることである。

実数 $x,y,z$ が
$$x+y+z=3,xy+yz+zx=-9$$
を満たしながら動くとき、
$$x^4+y^4+z^4$$
の最大値と最小値を、この順に求めよ。

$a$ を正の実数とし、$\alpha =\frac{1}{\sqrt{a}}$ とする。実数の定数 $p,q,r$ を用いた割り算を含まない反復
$$x_{n+1}=x_n\left(p+qa{x}_n^2+r{a}^2{x}_n^4\right)(n=0,1,2,\dots )$$
を考える。この反復関数を $g(x)=x\left(p+qa{x}^2+r{a}^2{x}^4\right)$ とおく。$g(\alpha )=\alpha ,g^{\prime }(\alpha )=0,g^{\prime \prime }(\alpha )=0$ がすべて成り立つように $p,q,r$ を定める。これにより、$\alpha$ に十分近い初期値 $x_0$ から反復すると $x_n$ は $\alpha$ に 3 次以上で収束する。

このように定めた $p,q,r$ を用い、$x_0$ を $\alpha$ に十分近くとる。さらに、すべての $n$ について $x_n\ne \alpha$ であるとする。このとき、極限
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{x_{n+1}-\alpha }{(x_n-\alpha {)}^3}$$
を $a$ を用いて表せ。

実数 $x,y,z$ が 2 つの条件 $$x^2+y^2+z^2=1,x+y+z=1$$ を満たして動くとき、$$f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3$$ の最大値と最小値を、この順に求めよ。

関数 $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ の $-2\le x\le 4$ における最大値と最小値を、この順に求めよ。

整式 $f(x)$ は、すべての実数 $x$ に対して
$$\{f^{\prime }(x){\}}^2=4f(x)+12$$
を満たし、さらに
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}=24$$
を満たす。このとき、$f(x)$ を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$f(x)=x^3-ax$ とする。$0\le x\le 2$ における $|f(x)|$ の最大値を $M(a)$ とする。$a$ がすべての実数を動くとき、$M(a)$ の最小値を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ の方程式
$$2x^3-3x^2-12x=k$$
が $-2\le x\le 3$ の範囲に異なる実数解をちょうど $2$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、
$$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax$$
とする。区間 $0\le x\le 2$ における $f(x)$ の最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とする。$M(a)-m(a)$ が最小となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ の $3$ 次方程式
$$x^3-3ax+2a=0$$
が $0<x<2$ の範囲に異なる $2$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、関数
$$f(x)=x^3-3(a+1)x^2+12ax$$
を考える。$x\ge 0$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f(x)\ge 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-3x$ と直線 $\ell :y=x$ がある。$\ell$ 上の点 $\mathrm{P}(a,a)$ から曲線 $C$ に異なる $3$ 本の接線が引けるような実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

実数 $x,y$ が $x^2+y^2=2$ を満たしながら動くとき、
$$P=x^3+y^3+3xy$$
の最大値と最小値を、この順に求めよ。

$a$ を実数の定数とする。
$$S(a)={\int }_0^{3}x|x-a|dx$$
とおくとき、$a$ がすべての実数を動くときの $S(a)$ の最小値を求めよ。

曲線 $y=x^3(x\geqq 0)$ と直線 $y=x$ で囲まれた部分を、直線 $y=x$ のまわりに $1$ 回転させてできる立体の体積 $V$ を求めよ。

$t$ を実数の媒介変数とし、座標平面上の曲線 $C$ を
$$x=t^2,y=\frac{t^3}{3}-t$$
で定める。曲線 $C$ はただ 1 つの点 $\mathrm{P}$ で自分自身と交わる。$C$ のうち、$\mathrm{P}$ を出発して再び $\mathrm{P}$ に戻るまでの部分（閉じた輪の部分）の長さ $L$ を求めよ。

$a$ を $a>1$ を満たす定数とし、実数全体で定義された関数
$$f(x)=x-a\log (1+x^2)$$
を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。$a>1$ のとき、$f(x)$ は極大値と極小値をちょうど $1$ つずつもつ。$f(x)$ の極大値から極小値を引いた差が $\frac{2}{e}$ となるような $a$ の値を求めよ。

曲線 $C:y=\log x(x>0)$ と点 $\mathrm{A}(3,b)$ を考える。ただし、$b$ は実数の定数であり、$\log$ は自然対数である。点 $\mathrm{A}$ を通る $C$ の法線がちょうど $3$ 本存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。

実数 $x,y,z$ が
$$x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=1$$
を満たしながら動くとき、$f(x,y,z)=xyz$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

区間 $0\le x\le \frac{\pi }{2}$ で 2 回微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$y^{\prime \prime }+y=4x\cos x$$ と境界条件 $y(0)=0$, $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=0$ を満たすとする。$y(x)$ を求めよ。

ある温度 $T$ のシリコン結晶にアクセプタだけを濃度 $N_A$ で一様に添加し、その導電率 $\sigma$ をできるだけ小さくしたい。この温度でシリコンの真性キャリア密度は $n_i=1.0\times 10^{10}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$、電子の移動度は ${\mu }_n=1350\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$、正孔の移動度は ${\mu }_p=450\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2/(\mathrm{V}\cdot \mathrm{s})$ である。

次を仮定する。
- 半導体は非縮退で、熱平衡では電子密度 $n$ と正孔密度 $p$ の間に質量作用の法則 $np=n_i^2$ が成り立つ
- アクセプタはすべてイオン化している
- 電気的中性条件 $p=n+N_A$ が成り立つ
- 移動度は添加濃度によらず上の値で一定とする
- 導電率は $\sigma =e(n{\mu }_n+p{\mu }_p)$（$e$ は電気素量）で与えられる

$N_A(\ge 0)$ を変えたとき $\sigma$ が最小になる $N_A$ の値は何 $\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-3}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

$(W_t{)}_{t\ge 0}$ を確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の $W_0=0$ を満たす 1 次元標準ブラウン運動とし、伊藤積分
$$X={\int }_0^1{W}_t^{2}d{W}_t,Y={\int }_0^{1}td{W}_t$$
を考える。実数 $a,b$ に対して
$$F(a,b)=E\left[{\left(X-a{W}_1-bY\right)}^2\right]$$
とおくとき、$a,b$ が実数全体を動くときの $F(a,b)$ の最小値を求めよ。

再生器をもたない単純なガスタービン（ブレイトンサイクル）を考える。作動流体は定圧比熱 $c_p$ と比熱比 $\gamma$ が一定の理想気体とみなし、質量流量は一定とする。サイクルは次の 4 つの過程からなる。

• 状態 1 → 2: 圧縮機での断熱圧縮。圧縮機入口温度 $T_1=300\text{K}$、圧縮機の断熱効率 ${\eta }_C=0.80$
• 状態 2 → 3: 燃焼器での等圧加熱。タービン入口温度 $T_3=1350\text{K}$
• 状態 3 → 4: タービンでの断熱膨張。タービンの断熱効率 ${\eta }_T=0.90$
• 状態 4 → 1: 等圧放熱

圧力比を $\pi =p_2/p_1$（$\pi >1$）とし、$p_3=p_2$、$p_4=p_1$ とする。圧縮機・タービンの断熱効率は、同じ圧力比での等エントロピー変化に対する比エンタルピー変化の比で定義する（圧縮機では「等エントロピー圧縮の仕事 / 実際の圧縮仕事」、タービンでは「実際の膨張仕事 / 等エントロピー膨張の仕事」）。運動エネルギー・位置エネルギーの変化と、圧縮機・タービンからの熱損失は無視する。

$T_1$、$T_3$、${\eta }_C$、${\eta }_T$ を固定して圧力比 $\pi$ だけを変えるとき、作動流体の単位質量あたりの正味仕事が最大になる圧力比で運転した場合の、このサイクルの熱効率を求めよ。正確な値（分数）で答えよ。

$K$ を標数が $2$ でも $3$ でもない体とし、$a,b\in K$ は $4a^3+27b^2\ne 0$ をみたすとする。$f(x)=x^3+ax+b$ とおき、楕円曲線
$$E:y^2=f(x)$$
の $K$ 有理点全体に無限遠点 $O$ を加えた集合 $E(K)$ を、通常の加法（$O$ が単位元）で群と考える。$4a^3+27b^2\ne 0$ のとき $f(x)$ は重根をもたないこと、および次の事実は用いてよい。
- 点 $P=(x_0,y_0)$ に対し $-P=(x_0,-y_0)$ である。$x$ 座標が等しい 2 つのアフィン点 $Q,R$ は $R=Q$ または $R=-Q$ をみたす。
- $y_0\ne 0$ のとき、$2P$ はアフィン点であり、$\lambda =\frac{3x_0^2+a}{2y_0}$ とおくと、$2P$ の $x$ 座標は ${\lambda }^2-2x_0$ である。$y_0=0$ のときは $2P=O$ である。

さらに
$${\psi }_3(x)=3x^4+6a{x}^2+12bx-a^2$$
とおく。$E(K)$ のアフィン点 $P=(x_0,y_0)$ について、「$P$ の位数が $3$ であるための必要十分条件は ${\psi }_3(x_0)=0$ である」ことを証明せよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$${\left(x^3-3x^2\right)}^3-3{\left(x^3-3x^2\right)}^2=k$$
の異なる実数解の個数が $3$ 個以上となるような $k$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$0\leqq x\leqq \pi$ を満たすすべての実数 $x$ に対して、不等式 $$\sin x\geqq ax(\pi -x)$$ が成り立つような $a$ の最大値を求めよ。

$f(x)$ は実数を係数とする $3$ 次以下の整式で、$0\le x\le 1$ を満たすすべての実数 $x$ に対して
$$|f(x)|\le 1$$
が成り立つとする。このような $f(x)$ すべてを考えるとき、$f^{\prime }(1)$ の最大値を求めよ。

関数 $f(x)=x^3-3x$ を考える。実数 $t$ に対して、区間 $t\le x\le t+1$ における $f(x)$ の最大値から最小値を引いた値を $g(t)$ とする。$t$ がすべての実数を動くとき、$g(t)$ の最小値を求めよ。

座標平面上の点 $(a,b)$ で、$a>0$ を満たし、かつ $x$ の方程式
$$x^3-3a^{2}x=b$$
が $-1<x<1$ の範囲に異なる $3$ つの実数解をもつようなもの全体の集合を $D$ とする。$D$ の面積を求めよ。

$f(x)$ は実数を係数とする定数でない整式で、すべての実数 $x$ に対して
$$2xf(x)f^{\prime }(x)=f(x^2)+\{f(x){\}}^2$$
を満たしている。さらに $f(0)\ne 0$ であるとき、$f(x)$ を求めよ。