微分法と積分法の問題

$f(x)=x^3-2x$ とおきます。

手順1：点が曲線上にあることを確かめる

$f(1)=1^3-2\cdot 1=-1$ なので、点 $(1,-1)$ は曲線上にあります。

手順2：導関数を求め、接線の傾きを出す

多項式の微分により
$$f^{\prime }(x)=3x^2-2$$
です。点 $(1,-1)$ における接線の傾きは微分係数 $f^{\prime }(1)$ なので、
$$f^{\prime }(1)=3\cdot 1^2-2=1$$
となります。

手順3：接線の公式に代入する

曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(a,f(a))$ における接線の方程式は
$$y-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)$$
です。$a=1$, $f(1)=-1$, $f^{\prime }(1)=1$ を代入すると
$$y-(-1)=1\cdot (x-1)$$
$$y+1=x-1$$
$$y=x-2$$

よって、接線の方程式は $y=x-2$ であり、答える右辺は $x-2$ です。

$y=x^3-2x$ より $y^{\prime }=3x^2-2$。$x=1$ で $y^{\prime }=3-2=1$。点 $(1,-1)$ を通り傾き 1 の接線は $y=1\cdot (x-1)-1=x-2$。検算：点 $(1,-1)$ は曲線上（$1-2=-1$）で、接線上でも $1-2=-1$ を満たす。また $x^3-2x-(x-2)=x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)$ となり、$x=1$ で重解をもつので接している。