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微分法と積分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 微分法と積分法

曲線 $y = x^{3} - 3 x + 1$ 上の点 $(2, 3)$ における接線の方程式を求めよ。答えは $y = a x + b$ の形で表し、右辺 $a x + b$ を答えよ。

この問題で使うもの

多項式の微分（説明と入口の問題）
接線の方程式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（14 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

技能「接線の方程式」を使います。曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(a, f (a))$ における接線は、傾き $f^{'} (a)$ で点 $(a, f (a))$ を通る直線です。

ヒント 2

接線の方程式は $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$ です。まず $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ を微分して $f^{'} (x)$ を求めましょう。

ヒント 3

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ なので、傾きは $f^{'} (2) = 9$ です。これを $y - 3 = f^{'} (2) (x - 2)$ に代入して整理しましょう。

答えと解説

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9 x - 15

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解説を読む

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ とおきます。

手順1：点が曲線上にあることを確かめる

$f (2) = 2^{3} - 3 \cdot 2 + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$

なので、点 $(2, 3)$ は曲線上の点です。

手順2：導関数を求め、接点での傾きを求める

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$

です。接点の $x$ 座標 $2$ を代入すると、接線の傾きは

$f^{'} (2) = 3 \cdot 2^{2} - 3 = 12 - 3 = 9$

です。

手順3：接線の公式に代入する

曲線 $y = f (x)$ 上の点 $(a, f (a))$ における接線の方程式は

$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$

です。 $a = 2$ , $f (2) = 3$ , $f^{'} (2) = 9$ を代入すると

$y - 3 = 9 (x - 2)$

となります。展開して整理すると

$y = 9 x - 18 + 3 = 9 x - 15$

です。

したがって、接線の方程式は $y = 9 x - 15$ であり、求める右辺は $9 x - 15$ です。

別解

$y = x^{3} - 3 x + 1$ に $x = 2$ を代入すると $y = 8 - 6 + 1 = 3$ なので、点 $(2, 3)$ は曲線上にある。
$y^{'} = 3 x^{2} - 3$ より、 $x = 2$ での傾きは $3 \cdot 4 - 3 = 9$ 。
接線は $y - 3 = 9 (x - 2)$ 、すなわち $y = 9 x - 15$ 。
検算： $x^{3} - 3 x + 1 - (9 x - 15) = x^{3} - 12 x + 16 = (x - 2)^{2} (x + 4)$ となり、 $x = 2$ で重解をもつので $x = 2$ で接している。

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