微分法と積分法

関数 $f(x)=x^3+2x$ について、$x=1$ における微分係数 $f^{\prime }(1)$ を、定義
$$f^{\prime }(1)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$$
に従って求めよ。

関数 $f(x)=x^3-3x$ について、$x=2$ における微分係数 $f^{\prime }(2)$ を、定義
$$f^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$$
に従って求めよ。

関数 $f(x)=x^3+x$ について、$x=2$ における微分係数 $f^{\prime }(2)$ を、定義
$$f^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$$
にしたがって求めよ。

関数 $f(x)=2x^3+3x^2-5x+4$ の導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めよ。

関数 $$f(x)=x^3+4x^2-6x+1$$ の導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めよ。

関数 $f(x)=2x^3-5x^2+4x-7$ の導関数 $f^{\prime }(x)$ を求めよ。

曲線 $y=x^3-2x^2+3$ 上の点 $(2,3)$ における接線の方程式を求めよ。答えは $y=(x\text{ の式})$ の形で表し、右辺の式を答えよ。

曲線 $y=x^3-3x+1$ 上の点 $(2,3)$ における接線の方程式を求めよ。答えは $y=ax+b$ の形で表し、右辺 $ax+b$ を答えよ。

曲線 $y=x^3-2x$ 上の点 $(1,-1)$ における接線の方程式を求めよ。答えは $y=mx+n$ の形に整理し、右辺の式 $mx+n$ を答えよ。

関数 $$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$$ の極大値と極小値を、この順に求めよ。

関数 $$f(x)=2x^3+3x^2-12x+1$$ の極大値と極小値を、この順に求めよ。

関数 $$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$$ の極大値と極小値を、この順に求めよ。

関数 $f(x)=2x^3-3x^2-12x$ の $-2\le x\le 3$ における最大値と最小値を、この順に求めよ。

関数 $$f(x)=-x^3+3x^2+9x-2$$ の $-2\le x\le 4$ における最大値と最小値を、この順に求めよ。

関数 $f(x)=2x^3-3x^2-12x+1$ の $-2\le x\le 3$ における最小値を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式 $$x^3-3x^2=k$$ が異なる $3$ つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ の $3$ 次方程式 $$x^3-3x^2-9x-k=0$$ が異なる $3$ つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ の方程式
$$2x^3+3x^2-12x-k=0$$
が異なる $3$ つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。

関数 $f(x)$ は、すべての実数 $x$ に対して $$f^{\prime }(x)=6x^2-2x+5$$ を満たし、さらに $f(0)=-3$ である。このとき、$f(x)$ を求めよ。

関数 $F(x)$ は、すべての実数 $x$ について $$F^{\prime }(x)=6x^2-2x+5$$ を満たし、さらに $F(1)=3$ を満たす。このとき、$F(x)$ を求めよ。

関数 $F(x)$ は、すべての実数 $x$ について $$F^{\prime }(x)=6x^2-4x+3$$ を満たし、さらに $F(0)=5$ である。$F(x)$ を求めよ。

定積分 $${\int }_{-1}^2(x^2+2x-1)dx$$ の値を求めよ。

定積分 $${\int }_{-1}^2\left(x^2+2x-1\right)dx$$ の値を求めよ。

定積分 $${\int }_{-1}^2\left(x^2-2x+3\right)dx$$ の値を求めよ。

2 つの放物線 $y=x^2-2x$ と $y=-x^2+4x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2 つの放物線 $y=x^2-2x$ と $y=-x^2+4x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

2 つの放物線 $y=x^2-1$ と $y=-x^2+2x+3$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

曲線 $y=x^3-3x$ 上の点で、その点における接線の傾きが $9$ となるような点の $x$ 座標をすべて求めよ。

$a,b$ は実数の定数とする。関数
$$f(x)=2x^3+a{x}^2+bx+1$$
が $x=-1$ で極大値 $8$ をとるとき、$f(x)$ の極小値を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-3x^2+2$ 上の点 $\mathrm{A}(3,2)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。$\ell$ と $C$ の共有点のうち、点 $\mathrm{A}$ 以外の点の座標を求めよ。

定積分 $${\int }_0^3\left|x^2-3x+2\right|dx$$ の値を求めよ。

$a,b$ を実数の定数とし、関数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx$ を考える。$f(x)$ が次の 2 つの条件を満たすとき、$a,b$ の値の組 $(a,b)$ を求めよ。

$(1)$ $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+2h)-f(1-h)}{h}=9$

$(2)$ $f^{\prime }(-1)=f^{\prime }(3)$

曲線 $y=x(x-2{)}^2$ と直線 $y=x$ で囲まれた 2 つの部分の面積の和を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-3x^2+x+2$ 上の点 $\mathrm{A}(2,0)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。$\ell$ と $C$ の共有点のうち、$\mathrm{A}$ 以外の点の座標を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-3x^2+2$ 上の点 $\mathrm{P}(-1,-2)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。曲線 $C$ と接線 $\ell$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$x^3-6x^2+9x-a=0$$
の異なる実数解がちょうど $2$ 個となるような $a$ の値をすべて求めよ。

$a,b$ を実数の定数とする。関数 $f(x)=2x^3+a{x}^2+bx$ が $x=2$ で極小値 $-20$ をとるとき、$f(x)$ の極大値を求めよ。

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=x+2$ で囲まれた部分の面積を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、関数
$$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax$$
を考える。$f(x)$ が極大値と極小値をもち、かつ（極大値）$-$（極小値）$=8$ となるような $a$ の値をすべて求めよ。

曲線 $C:y=x^3-4x$ がある。点 $\mathrm{A}(0,-2)$ から曲線 $C$ に引いた接線を $\ell$ とする。曲線 $C$ と接線 $\ell$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-4x+1$ を考える。$C$ 上の点 $\mathrm{P}(1,-2)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。$\ell$ と $C$ の共有点のうち、$\mathrm{P}$ と異なる点を $\mathrm{Q}$ とする。点 $\mathrm{Q}$ における $C$ の接線の方程式を $y=ax+b$ の形で求めよ。答えは右辺の式 $ax+b$ で答えよ。

放物線 $y=4-x^2$ と $x$ 軸の交点を $\mathrm{A}(-2,0)$, $\mathrm{B}(2,0)$ とする。実数 $t$ が $0<t<2$ の範囲を動くとき、放物線上の 2 点 $\mathrm{P}(t,4-t^2)$, $\mathrm{Q}(-t,4-t^2)$ をとる。四角形 $\mathrm{ABPQ}$ の面積の最大値を求めよ。

多項式で表される関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x$ に対して
$$f(x)=x^2+{\int }_0^1(x+t)f(t)dt$$
を満たしている。このとき、$f(x)$ を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-3x^2+x$ 上の点 $\mathrm{P}(2,-2)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。曲線 $C$ と接線 $\ell$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

$a$ を $a>1$ を満たす実数の定数とし、関数
$$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax$$
を考える。$f(x)$ の極大値と極小値の差が $27$ であるとき、$f(x)$ の極小値を求めよ。

関数 $f(x)$ は、すべての実数 $x$ に対して
$$f(x)=x^2+x{\int }_0^{1}f(t)dt+{\int }_0^{1}tf(t)dt$$
を満たす。このとき、$f(x)$ を求めよ。

整式で表される関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x$ に対して
$$x{f}^{\prime }(x)-2f(x)=x^3-4x+6$$
を満たし、さらに
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2-3h)}{h}=32$$
を満たすとする。このとき、$f(3)$ の値を求めよ。

整式 $f(x)$ は、すべての実数 $x$ に対して
$$f(x)+(x-1)f^{\prime }(x)=6x^2-2x+1$$
を満たしている。このとき、極限値
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+3h)-f(1-h)}{h}$$
を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-4x^2+3x$ 上の点 $\mathrm{P}(3,0)$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。曲線 $C$ と直線 $\ell$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

関数 $f(x)$ は $x=0$ で微分可能であり、すべての実数 $x,y$ に対して
$$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y)-1$$
を満たしている。さらに
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x^3-1}=\frac{5}{3}$$
が成り立つとする。このとき、$f(x)$ を求めよ。

実数 $x,y,z$ が
$$x+y+z=3,xy+yz+zx=-9$$
を満たしながら動くとき、
$$x^4+y^4+z^4$$
の最大値と最小値を、この順に求めよ。

放物線 $C:y=x^2$ 上に $2$ 点 $\mathrm{P}(t,t^2)$, $\mathrm{Q}(t+2,(t+2{)}^2)$ をとる。実数 $t$ が $-1\le t\le 1$ の範囲を動くとき、線分 $\mathrm{PQ}$ が通過する部分の面積を求めよ。

関数 $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ の $-2\le x\le 4$ における最大値と最小値を、この順に求めよ。

整式 $f(x)$ は、すべての実数 $x$ に対して
$$\{f^{\prime }(x){\}}^2=4f(x)+12$$
を満たし、さらに
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}=24$$
を満たす。このとき、$f(x)$ を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$f(x)=x^3-ax$ とする。$0\le x\le 2$ における $|f(x)|$ の最大値を $M(a)$ とする。$a$ がすべての実数を動くとき、$M(a)$ の最小値を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ の方程式
$$2x^3-3x^2-12x=k$$
が $-2\le x\le 3$ の範囲に異なる実数解をちょうど $2$ 個もつような $k$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、
$$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax$$
とする。区間 $0\le x\le 2$ における $f(x)$ の最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とする。$M(a)-m(a)$ が最小となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x$ の $3$ 次方程式
$$x^3-3ax+2a=0$$
が $0<x<2$ の範囲に異なる $2$ つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、関数
$$f(x)=x^3-3(a+1)x^2+12ax$$
を考える。$x\ge 0$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f(x)\ge 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。

曲線 $C:y=x^3-3x$ と直線 $\ell :y=x$ がある。$\ell$ 上の点 $\mathrm{P}(a,a)$ から曲線 $C$ に異なる $3$ 本の接線が引けるような実数 $a$ の値の範囲を求めよ。

実数 $x,y$ が $x^2+y^2=2$ を満たしながら動くとき、
$$P=x^3+y^3+3xy$$
の最大値と最小値を、この順に求めよ。

$a$ を実数の定数とする。
$$S(a)={\int }_0^{3}x|x-a|dx$$
とおくとき、$a$ がすべての実数を動くときの $S(a)$ の最小値を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$${\left(x^3-3x^2\right)}^3-3{\left(x^3-3x^2\right)}^2=k$$
の異なる実数解の個数が $3$ 個以上となるような $k$ の値の範囲を求めよ。

$f(x)$ は実数を係数とする $3$ 次以下の整式で、$0\le x\le 1$ を満たすすべての実数 $x$ に対して
$$|f(x)|\le 1$$
が成り立つとする。このような $f(x)$ すべてを考えるとき、$f^{\prime }(1)$ の最大値を求めよ。

関数 $f(x)=x^3-3x$ を考える。実数 $t$ に対して、区間 $t\le x\le t+1$ における $f(x)$ の最大値から最小値を引いた値を $g(t)$ とする。$t$ がすべての実数を動くとき、$g(t)$ の最小値を求めよ。

座標平面上の点 $(a,b)$ で、$a>0$ を満たし、かつ $x$ の方程式
$$x^3-3a^{2}x=b$$
が $-1<x<1$ の範囲に異なる $3$ つの実数解をもつようなもの全体の集合を $D$ とする。$D$ の面積を求めよ。

$f(x)$ は実数を係数とする定数でない整式で、すべての実数 $x$ に対して
$$2xf(x)f^{\prime }(x)=f(x^2)+\{f(x){\}}^2$$
を満たしている。さらに $f(0)\ne 0$ であるとき、$f(x)$ を求めよ。

実数 $t$ に対して、関数 $g(t)$ を
$$g(t)={\int }_t^{t+2}\left|x^2-3x\right|dx$$
で定める。$t$ がすべての実数を動くとき、$g(t)$ の最小値を求めよ。

$m$ を $0<m<2$ を満たす実数とする。曲線 $C:y=|x^2-1|$ と直線 $\ell :y=m(x+1)$ で囲まれた部分は $2$ つある。それらの面積の和を $S(m)$ とする。$m$ が $0<m<2$ の範囲を動くとき、$S(m)$ の最小値を求めよ。

関数 $f(x)=x^4-2x^2$ を考える。実数 $t$ に対して、区間 $t\le x\le t+1$ における $f(x)$ の最大値を $g(t)$ とする。$t$ がすべての実数を動くとき、$g(t)$ の最小値を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、曲線 $$C:y=x^3-ax$$ を考える。$C$ 上の点 $\mathrm{P}$ における $C$ の接線を $\ell$ とする。$\ell$ が $C$ と $\mathrm{P}$ 以外の点 $\mathrm{Q}$ を共有し、さらに $\mathrm{Q}$ における $C$ の接線が $\ell$ と直交するとき、点 $\mathrm{P}$ を「よい点」とよぶ。$C$ 上のよい点がちょうど $4$ 個存在するような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a,b$ を実数とする。$x$ の $3$ 次方程式
$$x^3-3a^{2}x+b=0$$
が異なる $3$ つの実数解をもち、しかもその $3$ つの解がすべて $-1\le x\le 1$ を満たすとする。このような点 $(a,b)$ 全体が座標平面上で表す領域を $D$ とするとき、$D$ の面積を求めよ。

$n$ を $4$ 以上の整数とする。整式 $x^n$ を $(x-1{)}^2(x-2{)}^2$ で割ったときの余りを $R(x)$ とする。$R(x)$ を $x$ と $n$ の式で表せ。