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微分法と積分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 微分法と積分法

関数 $F (x)$ は、すべての実数 $x$ について $F^{'} (x) = 6 x^{2} - 4 x + 3$ を満たし、さらに $F (0) = 5$ である。 $F (x)$ を求めよ。

この問題で使うもの

多項式の不定積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（14 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$F^{'} (x)$ が与えられているので、 $F (x)$ は $6 x^{2} - 4 x + 3$ の不定積分で表せます。まず不定積分を求め、そのあと条件 $F (0) = 5$ で積分定数を決めましょう。

ヒント 2

公式 $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ を使い、 $6 \int x^{2} d x - 4 \int x d x + 3 \int 1 d x$ と項ごとに積分します。

ヒント 3

不定積分は $F (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$ となります。ここに $x = 0$ を代入して $F (0) = 5$ と比べ、 $C$ を求めましょう。

答えと解説

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2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 5

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解説を読む

$F^{'} (x) = 6 x^{2} - 4 x + 3$ なので、 $F (x)$ は $6 x^{2} - 4 x + 3$ の原始関数の1つです。そこで、まず不定積分を求めます。

$n$ が $0$ 以上の整数のとき $(\frac{x ^{n + 1}}{n + 1})^{'} = x^{n}$ なので、次の公式が成り立ちます。 $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C (C は積分定数)$ また、定数倍と和・差は項ごとに分けて積分できます。

手順1：項ごとに分けて積分する。 $\int (6 x^{2} - 4 x + 3) d x = 6 \int x^{2} d x - 4 \int x d x + 3 \int 1 d x$
- $x^{2}$ の原始関数は $\frac{1}{3} x^{3}$ なので、 $6 \cdot \frac{1}{3} x^{3} = 2 x^{3}$
- $x$ の原始関数は $\frac{1}{2} x^{2}$ なので、 $- 4 \cdot \frac{1}{2} x^{2} = - 2 x^{2}$
- $1$ の原始関数は $x$ なので、 $3 \cdot x = 3 x$

よって、 $C$ を積分定数として $F (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$ と表せます。

手順2：条件 $F (0) = 5$ から $C$ を決める。 $F (0) = 2 \cdot 0^{3} - 2 \cdot 0^{2} + 3 \cdot 0 + C = C$ なので、 $C = 5$ です。

手順3：まとめる。 $F (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 5$

確かめ： $F^{'} (x) = 6 x^{2} - 4 x + 3$ となり、また $F (0) = 5$ も満たしています。

答え： $2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 5$

別解

$F^{'} (x) = 6 x^{2} - 4 x + 3$ を積分すると $F (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$ （ $C$ は積分定数）。 $F (0) = C = 5$ より $F (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 5$ 。検算：微分すると $6 x^{2} - 4 x + 3$ となり、 $F (0) = 5$ も満たす。

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