微分法と積分法の問題

$f(x)$ の次数を決める

$f(x)$ の次数を $n$ $(n\ge 0)$、最高次の係数を $a$ $(a\ne 0)$ とする。$f(x)$ の最高次の項は $a{x}^n$ である。$(x-1)f^{\prime }(x)$ の最高次の項は $x\cdot na{x}^{n-1}=na{x}^n$ である（$n=0$ のときは $f^{\prime }(x)=0$ なので、この項は $0$ と考える）。

したがって、左辺 $f(x)+(x-1)f^{\prime }(x)$ の $x^n$ の係数は $(n+1)a\ne 0$ となり、左辺はちょうど $n$ 次式である。右辺は $2$ 次式なので $n=2$ である。

$f(x)$ を求める

$f(x)=a{x}^2+bx+c$ とおくと、$f^{\prime }(x)=2ax+b$ である。左辺は
$$\begin{array}{rl}f(x)+(x-1)f^{\prime }(x)& =a{x}^2+bx+c+(x-1)(2ax+b)\\ & =a{x}^2+bx+c+2a{x}^2+(b-2a)x-b\\ & =3a{x}^2+(2b-2a)x+(c-b)\end{array}$$
となる。これが $6x^2-2x+1$ と恒等的に等しいので、係数を比較して
$$3a=6,2b-2a=-2,c-b=1$$
を得る。これを解くと $a=2,b=1,c=2$ となる。よって
$$f(x)=2x^2+x+2,f^{\prime }(x)=4x+1,f^{\prime }(1)=5$$
である。

極限を計算する

分子を $f(1)$ を介して分けると
$$\frac{f(1+3h)-f(1-h)}{h}=3\cdot \frac{f(1+3h)-f(1)}{3h}+\frac{f(1-h)-f(1)}{-h}$$
となる。$h\to 0$ のとき $3h\to 0$、$-h\to 0$ であるから、微分係数の定義より極限値は
$$3f^{\prime }(1)+f^{\prime }(1)=4f^{\prime }(1)=4\cdot 5=20$$
である。

検算

直接計算すると $f(1+3h)=5+15h+18h^2$、$f(1-h)=5-5h+2h^2$ である。よって差は $20h+16h^2$ となり、これを $h$ で割ると $20+16h\to 20$ となって一致する。

答え: $20$

与式に $x=1$ を代入すると $f(1)=6-2+1=5$ となる。

両辺を $x$ で微分すると $f^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)+(x-1)f^{\prime \prime }(x)=12x-2$ である。ここで $x=1$ を代入すると $2f^{\prime }(1)=10$ なので $f^{\prime }(1)=5$ となる。

検算として $f(x)$ を直接求める。$f$ の次数を $n$、最高次の係数を $a$ とすると、左辺の最高次の項は $a(n+1)x^n$ である。右辺は 2 次式なので $n=2$、$a=2$ となる。$f(x)=2x^2+bx+c$ とおくと $f^{\prime }(x)=4x+b$ であり、
$f+(x-1)f^{\prime }=6x^2+(2b-4)x+c-b$
となる。これが $6x^2-2x+1$ に等しいので、$2b-4=-2$ より $b=1$、$c-b=1$ より $c=2$ となる。よって $f(x)=2x^2+x+2$ で、$f(1)=5$、$f^{\prime }(1)=5$ となり先の結果と一致する。

極限は
${\lim }_{h\to 0}\frac{f(1+3h)-f(1-h)}{h}={\lim }_{h\to 0}\left[3\cdot \frac{f(1+3h)-f(1)}{3h}+\frac{f(1-h)-f(1)}{-h}\right]=3f^{\prime }(1)+f^{\prime }(1)=4f^{\prime }(1)=20$
である。