微分係数と導関数の定義

関数 $f(x)=x^3+2x$ について、$x=1$ における微分係数 $f^{\prime }(1)$ を、定義
$$f^{\prime }(1)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$$
に従って求めよ。

関数 $f(x)=x^3-3x$ について、$x=2$ における微分係数 $f^{\prime }(2)$ を、定義
$$f^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$$
に従って求めよ。

関数 $f(x)=x^3+x$ について、$x=2$ における微分係数 $f^{\prime }(2)$ を、定義
$$f^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$$
にしたがって求めよ。

$a,b$ を実数の定数とし、関数 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx$ を考える。$f(x)$ が次の 2 つの条件を満たすとき、$a,b$ の値の組 $(a,b)$ を求めよ。

$(1)$ $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+2h)-f(1-h)}{h}=9$

$(2)$ $f^{\prime }(-1)=f^{\prime }(3)$

整式で表される関数 $f(x)$ が、すべての実数 $x$ に対して
$$x{f}^{\prime }(x)-2f(x)=x^3-4x+6$$
を満たし、さらに
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2-3h)}{h}=32$$
を満たすとする。このとき、$f(3)$ の値を求めよ。

整式 $f(x)$ は、すべての実数 $x$ に対して
$$f(x)+(x-1)f^{\prime }(x)=6x^2-2x+1$$
を満たしている。このとき、極限値
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+3h)-f(1-h)}{h}$$
を求めよ。

関数 $f(x)$ は $x=0$ で微分可能であり、すべての実数 $x,y$ に対して
$$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x+y)-1$$
を満たしている。さらに
$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x^3-1}=\frac{5}{3}$$
が成り立つとする。このとき、$f(x)$ を求めよ。

整式 $f(x)$ は、すべての実数 $x$ に対して
$$\{f^{\prime }(x){\}}^2=4f(x)+12$$
を満たし、さらに
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+3h)-f(2-h)}{h}=24$$
を満たす。このとき、$f(x)$ を求めよ。

$x>0$ で定義された微分可能な関数 $f(x)$ は、減少関数で $0<f(x)<1$ を満たし、$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)=1$ である。さらに、曲線 $C:y=f(x)(x>0)$ 上のどの点 $\mathrm{P}$ についても、$\mathrm{P}$ における $C$ の接線と $x$ 軸の交点を $\mathrm{Q}$ とすると $\mathrm{PQ}=1$ が成り立つ。

曲線 $C$ のうち $$\frac{\log 3-1}{2}\leqq x\leqq \log \left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{\sqrt{3}}{2}$$ の部分の長さ $L$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

$n$ を $4$ 以上の整数とする。整式 $x^n$ を $(x-1{)}^2(x-2{)}^2$ で割ったときの余りを $R(x)$ とする。$R(x)$ を $x$ と $n$ の式で表せ。