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微分法と積分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 微分法と積分法

関数 $f (x) = x^{3} - 3 x$ について、 $x = 2$ における微分係数 $f^{'} (2)$ を、定義
$f^{'} (2) = h \to 0 lim \frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h}$
に従って求めよ。

この問題で使うもの

微分係数と導関数の定義（説明と入口の問題）
3 次式までの展開と因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

微分係数の定義を使います。平均変化率 $\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h}$ を $h$ の式で表してから、 $h \to 0$ の極限を考えましょう。

ヒント 2

$(2 + h)^{3}$ は 3 乗の展開公式で $8 + 12 h + 6 h^{2} + h^{3}$ と展開できます。分子を整理すると、どの項にも $h$ が含まれるので、 $h$ で約分できます。

ヒント 3

$f (2 + h) - f (2) = 9 h + 6 h^{2} + h^{3}$ となるので、 $\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} = 9 + 6 h + h^{2}$ です。ここで $h \to 0$ とします。

答えと解説

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9

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解説を読む

微分係数の定義に従い、平均変化率 $\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h}$ を計算してから、 $h \to 0$ の極限を求めます。

手順 1： $f (2 + h)$ を計算する

3 乗の展開公式 $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ を使うと
$(2 + h)^{3} = 8 + 12 h + 6 h^{2} + h^{3}$
となります。よって
$f (2 + h) = (2 + h)^{3} - 3 (2 + h) = 8 + 12 h + 6 h^{2} + h^{3} - 6 - 3 h = 2 + 9 h + 6 h^{2} + h^{3}$
です。

手順 2： $f (2)$ を計算する
$f (2) = 2^{3} - 3 \cdot 2 = 8 - 6 = 2$

手順 3：差 $f (2 + h) - f (2)$ を求め、 $h$ で割る
$f (2 + h) - f (2) = 9 h + 6 h^{2} + h^{3}$
$h \neq = 0$ なので $h$ で割ることができ、
$\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} = \frac{9 h + 6 h ^{2} + h ^{3}}{h} = 9 + 6 h + h^{2}$
となります。

手順 4： $h \to 0$ の極限をとる
$f^{'} (2) = h \to 0 lim (9 + 6 h + h^{2}) = 9$

したがって、 $f^{'} (2) = 9$ です。

別解

$f (2) = 8 - 6 = 2$ 。 $f (2 + h) = (2 + h)^{3} - 3 (2 + h) = 8 + 12 h + 6 h^{2} + h^{3} - 6 - 3 h = 2 + 9 h + 6 h^{2} + h^{3}$ 。よって $f (2 + h) - f (2) = 9 h + 6 h^{2} + h^{3}$ 。したがって $\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} = 9 + 6 h + h^{2}$ ( $h \neq = 0$ )。 $h \to 0$ とすると $f^{'} (2) = 9$ 。検算: 導関数 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ より $f^{'} (2) = 12 - 3 = 9$ 。一致する。

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