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微分法と積分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 微分法と積分法

関数 $f (x) = x^{3} + 2 x$ について、 $x = 1$ における微分係数 $f^{'} (1)$ を、定義
$f^{'} (1) = h \to 0 lim \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h}$
に従って求めよ。

この問題で使うもの

微分係数と導関数の定義（説明と入口の問題）
3 次式までの展開と因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

微分係数の定義 $f^{'} (a) = lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ を $a = 1$ として使います。まず平均変化率を計算しましょう。

ヒント 2

$(1 + h)^{3} = 1 + 3 h + 3 h^{2} + h^{3}$ と展開して $f (1 + h)$ を求め、 $f (1) = 3$ を引きます。

ヒント 3

$f (1 + h) - f (1) = 5 h + 3 h^{2} + h^{3}$ なので、 $h$ で割ると $5 + 3 h + h^{2}$ になります。ここで $h \to 0$ とします。

答えと解説

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5

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解説を読む

微分係数の定義に従い、平均変化率 $\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h}$ を計算してから、 $h \to 0$ の極限を求めます。

手順1： $f (1 + h)$ と $f (1)$ を求める

3 乗の展開公式 $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ を使うと、
$(1 + h)^{3} = 1 + 3 h + 3 h^{2} + h^{3}$
です。よって
$f (1 + h) = (1 + h)^{3} + 2 (1 + h) = 1 + 3 h + 3 h^{2} + h^{3} + 2 + 2 h = 3 + 5 h + 3 h^{2} + h^{3}$
となります。また
$f (1) = 1^{3} + 2 \cdot 1 = 3$
です。

手順2：差 $f (1 + h) - f (1)$ を計算する
$f (1 + h) - f (1) = (3 + 5 h + 3 h^{2} + h^{3}) - 3 = 5 h + 3 h^{2} + h^{3}$

手順3： $h$ で割る（ $h \neq = 0$ ）
$\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = \frac{5 h + 3 h ^{2} + h ^{3}}{h} = 5 + 3 h + h^{2}$

手順4： $h \to 0$ の極限をとる
$f^{'} (1) = h \to 0 lim (5 + 3 h + h^{2}) = 5 + 0 + 0 = 5$

したがって、 $f^{'} (1) = 5$ です。

別解

$f (1) = 1 + 2 = 3$ 。 $f (1 + h) = (1 + h)^{3} + 2 (1 + h) = 1 + 3 h + 3 h^{2} + h^{3} + 2 + 2 h = 3 + 5 h + 3 h^{2} + h^{3}$ 。よって $f (1 + h) - f (1) = 5 h + 3 h^{2} + h^{3}$ 。 $h \neq = 0$ として $h$ で割ると $\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = 5 + 3 h + h^{2}$ 。 $h \to 0$ のとき $5 + 3 h + h^{2} \to 5$ 。したがって $f^{'} (1) = 5$ 。検算： $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2$ より $f^{'} (1) = 3 + 2 = 5$ で一致する。

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