この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

微分法と積分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 微分法と積分法

関数 $f (x) = x^{3} + x$ について、 $x = 2$ における微分係数 $f^{'} (2)$ を、定義
$f^{'} (2) = h \to 0 lim \frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h}$
にしたがって求めよ。

この問題で使うもの

微分係数と導関数の定義（説明と入口の問題）
3 次式までの展開と因数分解（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

微分係数の定義（平均変化率 $\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h}$ の $h \to 0$ のときの極限）を使います。まず $f (2)$ と $f (2 + h)$ を計算しましょう。

ヒント 2

$(2 + h)^{3}$ は 3 乗の展開公式 $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ で展開できます。

ヒント 3

$f (2 + h) - f (2) = 13 h + 6 h^{2} + h^{3}$ となります。これを $h$ で割って約分してから、 $h \to 0$ とします。

答えと解説

答えを見る

13

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

微分係数の定義
$f^{'} (2) = h \to 0 lim \frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h}$
にしたがって計算する。

手順1： $f (2)$ を求める。
$f (2) = 2^{3} + 2 = 10$

手順2： $f (2 + h)$ を展開する。
3 乗の展開公式 $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ より
$(2 + h)^{3} = 8 + 12 h + 6 h^{2} + h^{3}$
であるから
$f (2 + h) = (2 + h)^{3} + (2 + h) = 8 + 12 h + 6 h^{2} + h^{3} + 2 + h = 10 + 13 h + 6 h^{2} + h^{3}$

手順3：平均変化率を整理する。
$f (2 + h) - f (2) = 13 h + 6 h^{2} + h^{3}$
$h \neq = 0$ なので、分母の $h$ で約分できて
$\frac{f ( 2 + h ) - f ( 2 )}{h} = \frac{13 h + 6 h ^{2} + h ^{3}}{h} = 13 + 6 h + h^{2}$

手順4： $h \to 0$ の極限をとる。
$f^{'} (2) = h \to 0 lim (13 + 6 h + h^{2}) = 13$

よって $f^{'} (2) = 13$ である。

別解

$f (2) = 8 + 2 = 10$ 。 $f (2 + h) = (2 + h)^{3} + (2 + h) = 8 + 12 h + 6 h^{2} + h^{3} + 2 + h = 10 + 13 h + 6 h^{2} + h^{3}$ 。よって $f (2 + h) - f (2) = 13 h + 6 h^{2} + h^{3}$ 。 $h \neq = 0$ で割ると $13 + 6 h + h^{2}$ 。 $h \to 0$ とすると $13$ 。検算： $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1$ より $f^{'} (2) = 12 + 1 = 13$ 。

微分法と積分法の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題