微分法と積分法の問題

方針 割る式は $4$ 次式なので、余り $R(x)$ は $3$ 次以下の整式です。商を $Q(x)$ とし、$P(x)=(x-1{)}^2(x-2{)}^{2}Q(x)$ とおくと、すべての実数 $x$ について
$$x^n=P(x)+R(x)$$
が成り立ちます。$x=1,2$ での値と微分係数を比べます。

$P(x)$ の微分係数 微分係数の定義から
$$P^{\prime }(1)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{P(1+h)-P(1)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h^2(h-1{)}^{2}Q(1+h)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }h(h-1{)}^{2}Q(1+h)=0$$
です。同様に
$$P^{\prime }(2)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(1+h{)}^2{h}^{2}Q(2+h)}{h}=0$$
です。また $P(1)=P(2)=0$ です。

よって $g(x)=x^n$ について
$$R(1)=g(1),R^{\prime }(1)=g^{\prime }(1),R(2)=g(2),R^{\prime }(2)=g^{\prime }(2)$$
が成り立ちます。$g^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$ なので
$$R(1)=1,R^{\prime }(1)=n,R(2)=2^n,R^{\prime }(2)=n\cdot 2^{n-1}$$
となります。

余りの形 $3$ 次以下の整式 $R(x)$ は、定数 $A,B,C,D$ を用いて
$$R(x)=A+B(x-1)+C(x-1{)}^2+D(x-1{)}^2(x-2)$$
と表せます。$(x-1{)}^2(x-2)=x^3-4x^2+5x-2$ なので
$$R^{\prime }(x)=B+2C(x-1)+D(3x^2-8x+5)$$
です。

条件から係数を決める
- $R(1)=A=1$
- $R^{\prime }(1)=B+D(3-8+5)=B=n$
- $R(2)=A+B+C=1+n+C=2^n$ より $C=2^n-n-1$
- $R^{\prime }(2)=B+2C+D(12-16+5)=B+2C+D=n\cdot 2^{n-1}$ より
$$D=n\cdot 2^{n-1}-n-2(2^n-n-1)=n\cdot 2^{n-1}-2^{n+1}+n+2=(n-4)2^{n-1}+n+2$$

したがって
$$R(x)=1+n(x-1)+(2^n-n-1)(x-1{)}^2+\{(n-4)2^{n-1}+n+2\}(x-1{)}^2(x-2)$$

検算 $n=4$ のとき、$A=1,B=4,C=11,D=6$ です。展開すると $R(x)=6x^3-13x^2+12x-4$ となります。一方、
$$(x-1{)}^2(x-2{)}^2=x^4-6x^3+13x^2-12x+4$$
なので、$x^4-(x-1{)}^2(x-2{)}^2=6x^3-13x^2+12x-4$ となり、一致します。

$x^n$ を $(x-1{)}^2(x-2{)}^2$ で割った余り $R(x)$ は 3 次以下の整式である。$x^n=Q(x)(x-1{)}^2(x-2{)}^2+R(x)$ の両辺を微分して $x=1,2$ を代入すると、次の 4 条件が得られる。
$R(1)=1,R^{\prime }(1)=n,R(2)=2^n,R^{\prime }(2)=n{2}^{n-1}$

$R(x)=1+n(x-1)+(x-1{)}^2\{a+b(x-1)\}$ とおくと、$R(1)=1,R^{\prime }(1)=n$ は自動的に成り立つ。

$R(2)=2^n$ より $1+n+a+b=2^n$ なので $a+b=2^n-n-1$。

$R^{\prime }(x)=n+2(x-1)\{a+b(x-1)\}+b(x-1{)}^2$ であるから、$R^{\prime }(2)=n{2}^{n-1}$ より $n+2(a+b)+b=n{2}^{n-1}$。

これを解くと、
$b=n{2}^{n-1}-n-2(2^n-n-1)=(n-4)2^{n-1}+n+2$
$a-b=(5-n)2^n-3n-5$

$a+b(x-1)=bx+(a-b)$ で、$c=a-b$ とおくと $(x-1{)}^2(bx+c)=b{x}^3+(c-2b)x^2+(b-2c)x+c$。

これに $1+n(x-1)$ を足して整理すると、
$x^3$ の係数: $b=(n-4)2^{n-1}+n+2$
$x^2$ の係数: $c-2b=(9-2n)2^n-5n-9$
$x$ の係数: $n+b-2c=(5n-24)2^{n-1}+8n+12$
定数項: $1-n+c=(5-n)2^n-4n-4$

検算として $n=4$ を調べる。$x^4-(x^2-3x+2{)}^2=6x^3-13x^2+12x-4$ である。公式では $x^3$: $6$、$x^2$: $16-20-9=-13$、$x$: $-16+32+12=12$、定数項: $16-16-4=-4$ となり一致する。