微分法と積分法の問題

$f(x)=x^3-3a^{2}x+b$ とおく。

(1) 異なる $3$ つの実数解をもつ条件

$f^{\prime }(x)=3x^2-3a^2=3(x+|a|)(x-|a|)$ である。

$a=0$ のとき $f^{\prime }(x)=3x^2\ge 0$ より $f(x)$ は単調増加となり、実数解は $1$ つだけである。よって $a\ne 0$ が必要である。

$a\ne 0$ のとき、$f(x)$ は $x=-|a|$ で極大、$x=|a|$ で極小となる。$|a{|}^2=a^2$ に注意すると
$$f(-|a|)=-|a{|}^3+3a^2|a|+b=2|a{|}^3+b,f(|a|)=|a{|}^3-3a^2|a|+b=b-2|a{|}^3$$
である。異なる $3$ つの実数解をもつ条件は (極大値) $>0$ かつ (極小値) $<0$ だから
$$-2|a{|}^3<b<2|a{|}^3\text{すなわち}|b|<2|a{|}^3(1)$$
($(1)$ が成り立てば $a\ne 0$ は自動的に満たされる。)

(2) $3$ つの解がすべて $-1\le x\le 1$ にある条件

$(1)$ のもとで $3$ つの解を $\alpha <\beta <\gamma$ とすると、$\alpha <-|a|<\beta <|a|<\gamma$ である。

$-1\le \alpha$ が成り立つには $-1<-|a|$、すなわち $|a|<1$ が必要である。$|a|<1$ のとき、$f(x)$ は $x\le -|a|$ で単調増加なので、$\alpha \ge -1⟺f(-1)\le 0$ である。同様に、$f(x)$ は $x\ge |a|$ で単調増加なので、$\gamma \le 1⟺f(1)\ge 0$ である。また $-1\le \alpha$ かつ $\gamma \le 1$ ならば $\beta$ も $-1\le \beta \le 1$ を満たす。

$$f(-1)=-1+3a^2+b\le 0⟺b\le 1-3a^2,$$
$$f(1)=1-3a^2+b\ge 0⟺b\ge 3a^2-1.$$
よって
$$|b|\le 1-3a^2(2)$$
である。$(2)$ が成り立つには $1-3a^2\ge 0$、すなわち $a^2\le \frac{1}{3}$ が必要であり、このとき $|a|<1$ は自動的に満たされる。

以上より、$D$ は $(1)$ かつ $(2)$ を満たす点 $(a,b)$ 全体である。

(3) 面積の計算

$(1)$, $(2)$ は $a$ を $-a$ に、$b$ を $-b$ に置き換えても変わらないので、$D$ は $a$ 軸と $b$ 軸のそれぞれに関して対称である。そこで $a>0,b\ge 0$ の部分の面積を求めて $4$ 倍する。この部分は
$$0\le b<2a^3,b\le 1-3a^2$$
で表される。$b=2a^3$ と $b=1-3a^2$ の大小を比べると
$$2a^3-(1-3a^2)=2a^3+3a^2-1=(a+1{)}^2(2a-1)$$
となる。よって $0<a<\frac{1}{2}$ では $2a^3<1-3a^2$ であり、$a>\frac{1}{2}$ では $2a^3>1-3a^2$ である。また $1-3a^2\ge 0$ となるのは $a\le \frac{1}{\sqrt{3}}$ のときである。

したがって、この部分の面積を $S_1$ とすると
$$S_1={\int }_0^{\frac{1}{2}}2a^{3}da+{\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}(1-3a^2)da$$
である。それぞれ計算すると
$${\int }_0^{\frac{1}{2}}2a^{3}da={\left[\frac{a^4}{2}\right]}_0^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{32},$$
$${\int }_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}(1-3a^2)da=[a-a^3{]}_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{3\sqrt{3}}\right)-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right)=\frac{2\sqrt{3}}{9}-\frac{3}{8}.$$
よって
$$S_1=\frac{1}{32}+\frac{2\sqrt{3}}{9}-\frac{3}{8}=\frac{2\sqrt{3}}{9}-\frac{11}{32}$$
である。

境界の線分や曲線は面積に影響しないので、求める面積は
$$4S_1=\frac{8\sqrt{3}}{9}-\frac{11}{8}$$
である。(約 $0.165$ で、正であることも確かめられる。)

$f(x)=x^3-3a^{2}x+b$ とおく。$a=0$ のとき $f(x)=x^3+b$ は実数解を 1 つしかもたないので、$a\ne 0$ である。領域は $a\to -a$ で対称なので、$a>0$ の部分を求めて 2 倍する。

$f^{\prime }(x)=3(x^2-a^2)$ より、極大値は $f(-a)=2a^3+b$、極小値は $f(a)=b-2a^3$ である。異なる 3 実数解をもつ条件は $2a^3+b>0$ かつ $b-2a^3<0$、すなわち $|b|<2a^3$ である。

3 解がすべて $[-1,1]$ に入る条件を調べる。$a\ge 1$ とすると $-a\le -1$ で $f(-a)>0$ となり、$f(-\infty )<0$ より $-a$ より小さい解が存在する。これは $-1\le x$ に反するので、$0<a<1$ である。このとき $f(-1)\le 0$ かつ $f(1)\ge 0$ が必要十分である。

$f(-1)=-1+3a^2+b\le 0$ より $b\le 1-3a^2$。$f(1)=1-3a^2+b\ge 0$ より $b\ge 3a^2-1$。よって $|b|\le 1-3a^2$ である。

以上より、$a>0$ で $|b|<2a^3$ かつ $|b|\le 1-3a^2$ となる。

$2a^3=1-3a^2$ は $(a+1{)}^2(2a-1)=0$ と変形でき、$a=1/2$ を得る。$a<1/2$ では $2a^3$ の方が小さく、$a>1/2$ では $1-3a^2$ の方が小さい。$1-3a^2>0$ となるのは $a<1/\sqrt{3}$ までである。

$a>0$ の部分の面積は
$${\int }_0^{1/2}4a^{3}da+{\int }_{1/2}^{1/\sqrt{3}}2(1-3a^2)da.$$
第 1 項は ${\left[a^4\right]}_0^{1/2}=\frac{1}{16}$。
第 2 項は $2[a-a^3{]}_{1/2}^{1/\sqrt{3}}=2\left(\frac{2\sqrt{3}}{9}-\frac{3}{8}\right)=\frac{4\sqrt{3}}{9}-\frac{3}{4}$。

合計は $\frac{4\sqrt{3}}{9}-\frac{11}{16}$。これを 2 倍して
$$S=\frac{8\sqrt{3}}{9}-\frac{11}{8}.$$

検算: 数値では $1.5396-1.375\approx 0.165>0$ となり、正の値で妥当である。