定積分と面積

曲線と直線・2 曲線で囲まれた部分の面積を、交点を求めて定積分で計算できる

前提

定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
2 次不等式（数学I 2次関数）

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算数中学高校大学大学院

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説明

曲線と直線、あるいは 2 つの曲線で囲まれた部分の面積を、定積分を使って正確に求められるようになります。まずグラフどうしの交点の $x$ 座標を求めて積分の範囲を決めます。次に「上のグラフの式 − 下のグラフの式」を、その範囲で定積分します。放物線と直線で囲まれた図形や、放物線と $x$ 軸で囲まれた図形の面積などで使います。

なぜそうしてよいのか

区間 $a \leq x \leq b$ で $f (x) \geq g (x)$ とし、2 つのグラフ $y = f (x)$ （上）と $y = g (x)$ （下）にはさまれた部分を考えます。この部分のうち、左端 $a$ から位置 $x$ までの面積を $S (x)$ とおきます。 $x$ を少しだけ増やして $x + h$ （ $h > 0$ ）にすると、増える部分は幅 $h$ 、高さ $f (x) - g (x)$ のほぼ長方形の細い帯です。よって $S (x + h) - S (x) ≒ {f (x) - g (x)} h$ となり、両辺を $h$ で割って $h \to 0$ とすると $S^{'} (x) = f (x) - g (x)$ が得られます。つまり $S (x)$ は $f (x) - g (x)$ の原始関数の 1 つです。

$f (x) - g (x)$ の原始関数を $F (x)$ とすると、原始関数どうしは定数の差しかないので $S (x) = F (x) + C$ と書けます。 $x = a$ では面積がまだないので $S (a) = 0$ で、ここから $C = - F (a)$ です。したがって求める面積は
$S (b) = F (b) - F (a) = \int_{a}^{b} {f (x) - g (x)} d x$
となります。この理由づけでは、高さを「上の $y$ − 下の $y$ 」で測っているだけです。そのため、グラフが $x$ 軸より上にあっても下にあっても、同じ式で面積が求められます。

特に、 $x$ 軸（ $y = 0$ ）と曲線 $y = f (x)$ で囲まれた部分を考えます。 $f (x) \geq 0$ なら面積は $\int_{a}^{b} f (x) d x$ 、 $f (x) \leq 0$ なら面積は $\int_{a}^{b} {0 - f (x)} d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x$ です。

手順

2 つのグラフの概形をかき、どの部分の面積を求めるのかを確認する。
2 つの式を等しいとおいた方程式 $f (x) = g (x)$ を解き、交点の $x$ 座標を求める。これが積分の下端 $a$ と上端 $b$ （ $a < b$ ）になる。
区間 $a \leq x \leq b$ で $f (x) - g (x)$ の符号を調べ、どちらのグラフが上にあるかを決める（2 次不等式と同じように、グラフや因数分解から符号を読む）。
面積を $S = \int_{a}^{b} {(上の式) - (下の式)} d x$ とおく。かっこの中を整理してから原始関数を求め、上端と下端の値を代入して差をとる。
得られた値が正であることを確かめる（面積なので必ず正になる）。

例題

放物線 $y = x^{2}$ と直線 $y = x + 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $y = x^{2}$ は下に凸の放物線、 $y = x + 2$ は傾き 1 の直線です。2 つのグラフは 2 点で交わり、その間に囲まれた部分ができます。

【手順2】 $x^{2} = x + 2$ とおくと $x^{2} - x - 2 = 0$ です。因数分解すると $(x + 1) (x - 2) = 0$ となり、 $x = - 1, 2$ が得られます。よって積分の範囲は $- 1 \leq x \leq 2$ です。

【手順3】 $(x + 2) - x^{2} = - (x + 1) (x - 2)$ です。 $- 1 \leq x \leq 2$ では $(x + 1) (x - 2) \leq 0$ なので、 $(x + 2) - x^{2} \geq 0$ となります。したがって直線 $y = x + 2$ が上、放物線 $y = x^{2}$ が下です。

【手順4】
$S = \int_{- 1}^{2} {(x + 2) - x^{2}} d x = \int_{- 1}^{2} (- x^{2} + x + 2) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 2 x]_{- 1}^{2}$
$x = 2$ を代入すると $- \frac{8}{3} + 2 + 4 = \frac{10}{3}$ です。 $x = - 1$ を代入すると $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = - \frac{7}{6}$ です。よって
$S = \frac{10}{3} - (- \frac{7}{6}) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}$

【手順5】 $\frac{9}{2} > 0$ なので、面積として正しい値です。

答え: $\frac{9}{2}$

よくある誤り

上下を逆にして $\int_{- 1}^{2} {x^{2} - (x + 2)} d x = - \frac{9}{2}$ のように負の値を出してしまう誤り。正しくは、区間内で上にある方から下にある方を引いて $\int_{- 1}^{2} {(x + 2) - x^{2}} d x = \frac{9}{2}$ とする。
$x$ 軸より下にある部分の面積を、そのまま $\int f (x) d x$ で求めてしまう誤り。たとえば $y = x^{2} - 1$ と $x$ 軸で囲まれた部分では、 $\int_{- 1}^{1} (x^{2} - 1) d x = - \frac{4}{3}$ となって負になる。正しくは $x$ 軸（ $y = 0$ ）が上なので $\int_{- 1}^{1} {0 - (x^{2} - 1)} d x = \frac{4}{3}$ とする。
交点を求めずに、問題に出てくる数や適当な値を積分の範囲にしてしまう誤り。正しくは、方程式 $f (x) = g (x)$ を解いて得られる交点の $x$ 座標（例題では $x^{2} - x - 2 = 0$ から $- 1$ と $2$ ）を下端・上端にする。
下端を代入するときの符号を間違える誤り。例題で $- \frac{x ^{3}}{3}$ に $x = - 1$ を代入すると $- \frac{( - 1 ) ^{3}}{3} = + \frac{1}{3}$ であり、 $- \frac{1}{3}$ ではない。さらに $F (b) - F (a)$ の「 $- F (a)$ 」のかっこを忘れずに、 $\frac{10}{3} - (- \frac{7}{6})$ と計算する。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

面積と回転体の体積（数学III 積分法）
2 パラメータの安定領域（大学院数学制御理論）