微分法と積分法の問題

手順 1：交点の $x$ 座標を求める。

2 式から $y$ を消去すると
$$x^2-2x=-x^2+4x$$
$$2x^2-6x=0$$
$$2x(x-3)=0$$
となるので、交点の $x$ 座標は $x=0,3$ である。

手順 2：区間内でどちらのグラフが上にあるかを調べる。

$$(-x^2+4x)-(x^2-2x)=-2x^2+6x=-2x(x-3)$$
$0\le x\le 3$ では $x\ge 0$, $x-3\le 0$ なので $-2x(x-3)\ge 0$ である。よって、この区間では $y=-x^2+4x$ のグラフが上、$y=x^2-2x$ のグラフが下にある。（たとえば $x=1$ では $-1+4=3$, $1-2=-1$ となり、確かに $-x^2+4x$ の方が大きい。）

手順 3：「上の式 − 下の式」を交点の間で定積分する。

$$S={\int }_0^3\{(-x^2+4x)-(x^2-2x)\}dx={\int }_0^3(-2x^2+6x)dx$$
$$={\left[-\frac{2}{3}{x}^3+3x^2\right]}_0^3=\left(-\frac{2}{3}\cdot 27+3\cdot 9\right)-0=-18+27=9$$

したがって $S=9$ である。

2つの放物線の交点を求める。$x^2-2x=-x^2+4x$ より $2x^2-6x=0$、よって $x=0,3$。
$0\le x\le 3$ で $(-x^2+4x)-(x^2-2x)=-2x^2+6x=-2x(x-3)\ge 0$ なので、上側は $y=-x^2+4x$。
$S={\int }_0^3(-2x^2+6x)dx={\left[-\frac{2}{3}{x}^3+3x^2\right]}_0^3=-18+27=9$。
検算：${\int }_{\alpha }^{\beta }-a(x-\alpha )(x-\beta )dx=\frac{a}{6}(\beta -\alpha {)}^3$ の公式で $a=2$、$\beta -\alpha =3$ より $\frac{2}{6}\cdot 27=9$。一致する。