多項式の不定積分

微分の逆として、多項式の不定積分（原始関数）を求められる

前提

多項式の微分（数学II 微分法と積分法）

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算数中学高校大学大学院

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多項式の微分（数学II 微分法と積分法）

説明

微分すると $f (x)$ になる関数を見つけることを、 $f (x)$ を「積分する」といいます。この技能では、 $3 x^{2} - 4 x + 5$ のような多項式について、微分の逆をたどって「微分すると元の式になる関数」を求めます。この操作は、面積を求める定積分や、導関数から元の関数を復元する問題の土台になります。

なぜそうしてよいのか

関数 $F (x)$ を微分して $F^{'} (x) = f (x)$ となるとき、 $F (x)$ を $f (x)$ の原始関数といいます。たとえば $(x^{3})^{'} = 3 x^{2}$ なので、 $x^{3}$ は $3 x^{2}$ の原始関数です。ただし $(x^{3} + 5)^{'} = 3 x^{2}$ 、 $(x^{3} - 2)^{'} = 3 x^{2}$ のように、定数を足しても微分すると消えるので、原始関数は1つではありません。逆に、微分した結果が同じ2つの関数は、差を微分すると常に $0$ 、つまり差のグラフの傾きがどこでも $0$ なので、差は定数です（このことは事実として認めて使います）。そこで原始関数をまとめて $F (x) + C$ （ $C$ は任意の定数）と書き、これを $f (x)$ の不定積分といって $\int f (x) d x$ で表します。 $C$ を積分定数といいます。

$x^{n}$ （ $n = 0, 1, 2, \dots$ ）の原始関数は、微分の公式 $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ を逆にたどって見つけます。 $(\frac{x ^{n + 1}}{n + 1})^{'} = \frac{( n + 1 ) x ^{n}}{n + 1} = x^{n}$ となるので、 $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ です。指数を1つ上げ、新しい指数で割る、と覚えます。特に $n = 0$ のとき $\int 1 d x = x + C$ です。

さらに、微分には「定数倍はそのまま外に出せる」「和は項ごとに微分できる」という線形性がありました。微分の逆である不定積分でも同じことが成り立ち、 $k, l$ を定数として $\int {k f (x) + l g (x)} d x = k \int f (x) d x + l \int g (x) d x$ です（右辺を微分すると $k f (x) + l g (x)$ になることから確かめられます）。これで、どんな多項式も項ごとに積分できます。

手順

積分する式が積の形やかっこを含むときは、展開して $a x^{n}$ の項の和に直す
各項に公式 $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$ を使い、係数はそのまま掛ける（定数項 $a$ は $a x$ になる）
すべての項を足し、最後に積分定数 $+ C$ を1つだけ付け、「 $C$ は積分定数」と書き添える
結果を微分して元の式に戻るか確かめる

例題

不定積分 $\int (x + 1) (3 x - 1) d x$ を求めよ。

例題の解答

手順1：まず展開する。 $(x + 1) (3 x - 1) = 3 x^{2} - x + 3 x - 1 = 3 x^{2} + 2 x - 1$ 。

手順2：項ごとに積分する。 $\int 3 x^{2} d x$ は $3 \cdot \frac{x ^{3}}{3} = x^{3}$ 、 $\int 2 x d x$ は $2 \cdot \frac{x ^{2}}{2} = x^{2}$ 、 $\int (- 1) d x$ は $- x$ 。

手順3：まとめて積分定数を付ける。 $\int (x + 1) (3 x - 1) d x = x^{3} + x^{2} - x + C (C は積分定数)$

手順4：確かめ。 $(x^{3} + x^{2} - x + C)^{'} = 3 x^{2} + 2 x - 1 = (x + 1) (3 x - 1)$ となり、元の式に戻る。

答え: $x^{3} + x^{2} - x + C$

よくある誤り

積分定数を書き忘れる誤り。 $\int 2 x d x = x^{2}$ で終わらせるのではなく、正しくは $\int 2 x d x = x^{2} + C$ （ $C$ は積分定数）。
指数を上げたあと、元の指数で割ったり、指数を掛けたりしてしまう誤り。 $\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{2}$ や $2 x^{3}$ ではなく、正しくは新しい指数 $3$ で割って $\frac{x ^{3}}{3} + C$ 。
定数項を $0$ にしたり消したりする誤り（微分と混同）。 $\int 5 d x = 0$ ではなく、正しくは $\int 5 d x = 5 x + C$ 。
積をそのまま因数ごとに積分して掛けてしまう誤り。 $\int (x + 1) (3 x - 1) d x = (\frac{x ^{2}}{2} + x) (\frac{3 x ^{2}}{2} - x)$ は誤りで、正しくは先に展開して $\int (3 x^{2} + 2 x - 1) d x = x^{3} + x^{2} - x + C$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
基本的な関数の不定積分（数学III 積分法）
積分回路（大学物理電子回路・半導体デバイス）
ニュートンの粘性法則とクエット流（大学物理流体力学・連続体）