微分法と積分法の問題

定積分 ${\int }_0^{1}f(t)dt$ と ${\int }_0^{1}tf(t)dt$ はどちらも定数なので、
$$a={\int }_0^{1}f(t)dt,b={\int }_0^{1}tf(t)dt$$
とおくと、$f(x)=x^2+ax+b$ と表せる。

$a$ についての式
$$a={\int }_0^1(t^2+at+b)dt={\left[\frac{t^3}{3}+\frac{a}{2}{t}^2+bt\right]}_0^1=\frac{1}{3}+\frac{a}{2}+b$$
よって $\frac{a}{2}=\frac{1}{3}+b$、すなわち
$$a=\frac{2}{3}+2b(1)$$

$b$ についての式
$$b={\int }_0^{1}t(t^2+at+b)dt={\int }_0^1(t^3+a{t}^2+bt)dt={\left[\frac{t^4}{4}+\frac{a}{3}{t}^3+\frac{b}{2}{t}^2\right]}_0^1=\frac{1}{4}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}$$
よって $\frac{b}{2}=\frac{1}{4}+\frac{a}{3}$、すなわち
$$b=\frac{1}{2}+\frac{2}{3}a(2)$$

連立方程式を解く
$(2)$ を $(1)$ に代入すると
$$a=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}a\right)=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}a$$
よって $-\frac{1}{3}a=\frac{5}{3}$ より $a=-5$。$(2)$ に代入して
$$b=\frac{1}{2}-\frac{10}{3}=-\frac{17}{6}$$

検算
${\int }_0^{1}f(t)dt=\frac{1}{3}-\frac{5}{2}-\frac{17}{6}=\frac{2-15-17}{6}=-5=a$

${\int }_0^{1}tf(t)dt=\frac{1}{4}-\frac{5}{3}-\frac{17}{12}=\frac{3-20-17}{12}=-\frac{17}{6}=b$

となり、条件を満たす。

したがって
$$f(x)=x^2-5x-\frac{17}{6}$$

$a={\int }_0^{1}f(t)dt,b={\int }_0^{1}tf(t)dt$ とおくと、$f(x)=x^2+ax+b$ である。

$a={\int }_0^1(t^2+at+b)dt=\frac{1}{3}+\frac{a}{2}+b$ より、$a-2b=\frac{2}{3}$ …①

$b={\int }_0^1(t^3+a{t}^2+bt)dt=\frac{1}{4}+\frac{a}{3}+\frac{b}{2}$ より、$6b-4a=3$ …②

②より $b=\frac{3+4a}{6}$。これを①に代入すると $a-\frac{3+4a}{3}=\frac{2}{3}$、すなわち $-a-3=2$ なので $a=-5$。よって $b=\frac{3-20}{6}=-\frac{17}{6}$。

検算：①は $-5+\frac{17}{3}=\frac{2}{3}$ で成立。②は $\frac{b}{2}-\frac{a}{3}=-\frac{17}{12}+\frac{5}{3}=\frac{1}{4}$ で成立。

したがって $f(x)=x^2-5x-\frac{17}{6}$。