微分法と積分法の問題

1. $f(0)$ を求める

等式に $x=y=0$ を代入すると $f(0)=2f(0)-1$ より $f(0)=1$。

2. 導関数を求める

$f^{\prime }(0)=k$ とおく。$f(x)$ は $x=0$ で微分可能なので
$$k=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-f(0)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h)-1}{h}$$
が存在する。任意の実数 $x$ について、等式で $y=h$ とすると
$$f(x+h)-f(x)=f(h)-1+2xh(x+h)$$
だから
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{f(h)-1}{h}+2x(x+h)$$
$h\to 0$ とすると右辺は $k+2x^2$ に収束する。よって $f(x)$ はすべての $x$ で微分可能で
$$f^{\prime }(x)=2x^2+k$$

3. $k$ を決める

$x\ne 1$ のとき $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ なので
$$\frac{f(x)-f(1)}{x^3-1}=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\cdot \frac{1}{x^2+x+1}$$
$x\to 1$ とすると $f^{\prime }(1)\cdot \frac{1}{3}$ に収束する。条件より $\frac{f^{\prime }(1)}{3}=\frac{5}{3}$、すなわち $f^{\prime }(1)=5$。
$f^{\prime }(1)=2+k$ だから $k=3$。

4. $f(x)$ を求める

$f^{\prime }(x)=2x^2+3$ より
$$f(x)=\frac{2}{3}{x}^3+3x+C(C\text{ は定数})$$
$f(0)=1$ より $C=1$。よって $f(x)=\frac{2}{3}{x}^3+3x+1$。

（確認）$\frac{2}{3}(x+y{)}^3=\frac{2}{3}(x^3+y^3)+2xy(x+y)$ なので
$$f(x)+f(y)+2xy(x+y)-1=\frac{2}{3}(x^3+y^3)+2xy(x+y)+3(x+y)+1=f(x+y)$$
となり、与えられた等式を満たす。また $f^{\prime }(1)=5$ で極限の条件も満たす。

$$f(x)=\frac{2}{3}{x}^3+3x+1$$

$x=y=0$ を代入すると $f(0)=2f(0)-1$ より $f(0)=1$。

$f^{\prime }(0)=c$ とおく。任意の $x$ について、$y=h$ として
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{f(h)-1+2xh(x+h)}{h}=\frac{f(h)-f(0)}{h}+2x(x+h).$$
$h\to 0$ とすると $f^{\prime }(x)=c+2x^2$（$f$ は $x=0$ で微分可能なので右辺の極限が存在し、すべての $x$ で微分可能）。

$f^{\prime }(x)=c+2x^2$ より $f(x)=cx+\frac{2}{3}{x}^3+C$。$f(0)=1$ より $C=1$。したがって $f(x)=\frac{2}{3}{x}^3+cx+1$。

次に条件の極限: $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ より
$$\frac{f(x)-f(1)}{x^3-1}=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\cdot \frac{1}{x^2+x+1}\to f^{\prime }(1)\cdot \frac{1}{3}.$$
これが $\frac{5}{3}$ なので $f^{\prime }(1)=5$。$f^{\prime }(1)=c+2=5$ より $c=3$。

よって $f(x)=\frac{2}{3}{x}^3+3x+1$。

検算: $f(x+y)-f(x)-f(y)=\frac{2}{3}\{(x+y{)}^3-x^3-y^3\}+1-1-1=\frac{2}{3}\cdot 3xy(x+y)-1=2xy(x+y)-1$ ✓。$f(1)=\frac{2}{3}+4=\frac{14}{3}$、$\frac{f(x)-f(1)}{x^3-1}=\frac{\frac{2}{3}(x^3-1)+3(x-1)}{x^3-1}=\frac{2}{3}+\frac{3}{x^2+x+1}\to \frac{2}{3}+1=\frac{5}{3}$ ✓。