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微分法と積分法の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学II 微分法と積分法

関数 $f (x)$ は、すべての実数 $x$ に対して $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 2 x + 5$ を満たし、さらに $f (0) = - 3$ である。このとき、 $f (x)$ を求めよ。

この問題で使うもの

多項式の不定積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（14 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

多項式の不定積分を使います。 $f (x)$ は $f^{'} (x)$ を積分すれば求められ、そのとき積分定数 $C$ が付きます。

ヒント 2

$\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ を項ごとに使います。最後に $f (0) = - 3$ を使って $C$ を決めます。

ヒント 3

$\int (6 x^{2} - 2 x + 5) d x = 2 x^{3} - x^{2} + 5 x + C$ となります。 $x = 0$ を代入すると $f (0) = C$ です。

答えと解説

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2 x^{3} - x^{2} + 5 x - 3

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解説を読む

$f (x)$ は $f^{'} (x)$ の原始関数なので、 $f (x)$ は $f^{'} (x)$ の不定積分で表されます。

手順1：各項を積分する

$n = 0, 1, 2, \dots$ に対して $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ （ $C$ は積分定数）です。また、不定積分は項ごとに計算でき、定数倍は外に出せます。よって
$f (x) = \int (6 x^{2} - 2 x + 5) d x = 6 \cdot \frac{x ^{3}}{3} - 2 \cdot \frac{x ^{2}}{2} + 5 x + C$
$= 2 x^{3} - x^{2} + 5 x + C$
となります（ $C$ は定数）。

検算： $(2 x^{3} - x^{2} + 5 x + C)^{'} = 6 x^{2} - 2 x + 5$ となり、もとの $f^{'} (x)$ に一致します。

手順2：条件 $f (0) = - 3$ から $C$ を決める

$f (0) = 2 \cdot 0^{3} - 0^{2} + 5 \cdot 0 + C = C$ なので、 $C = - 3$ です。

したがって
$f (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 5 x - 3$

別解

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 2 x + 5$ を積分すると、積分定数を $C$ として $f (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 5 x + C$ となる。 $f (0) = - 3$ より $C = - 3$ 。よって $f (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 5 x - 3$ 。検算：微分すると $6 x^{2} - 2 x + 5$ で条件を満たし、 $f (0) = - 3$ も成り立つ。

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