微分法と積分法の問題

$F^{\prime }(x)=6x^2-2x+5$ なので、$F(x)$ は $6x^2-2x+5$ の原始関数です。つまり、$F(x)$ は不定積分 $\int (6x^2-2x+5)dx$ で求められます。

$(x^{n+1}{)}^{\prime }=(n+1)x^n$ なので、$n$ が $0$ 以上の整数のとき
$$\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C(C\text{ は積分定数})$$
となります。また、定数倍と和・差は項ごとに分けて計算できます。

ステップ1：不定積分を求める
$$\int (6x^2-2x+5)dx=6\int x^{2}dx-2\int xdx+5\int 1dx$$
- $6\cdot \frac{1}{3}{x}^3=2x^3$
- $-2\cdot \frac{1}{2}{x}^2=-x^2$
- $5\cdot x=5x$

よって、$C$ を積分定数として
$$F(x)=2x^3-x^2+5x+C$$

ステップ2：条件 $F(1)=3$ から $C$ を決める
$$F(1)=2\cdot 1^3-1^2+5\cdot 1+C=2-1+5+C=6+C$$
これが $3$ に等しいので
$$6+C=3\text{より}C=-3$$

ステップ3：まとめる
$$F(x)=2x^3-x^2+5x-3$$

確かめ：$F^{\prime }(x)=6x^2-2x+5$ となり、$F(1)=2-1+5-3=3$ も満たします。

よって、答えは $F(x)=2x^3-x^2+5x-3$ です。

$F^{\prime }(x)=6x^2-2x+5$ を積分すると $F(x)=2x^3-x^2+5x+C$（$C$ は積分定数）。
$F(1)=2-1+5+C=6+C=3$ より $C=-3$。
よって $F(x)=2x^3-x^2+5x-3$。
検算：$F^{\prime }(x)=6x^2-2x+5$ であり、$F(1)=2-1+5-3=3$ となるので条件を満たす。