微分法と積分法の問題

定積分は、被積分関数の原始関数 $F(x)$ を1つ求め、$F(\text{上端})-F(\text{下端})$ を計算すればよい。

手順1：原始関数を求める。
$x^2-2x+3$ の原始関数の1つは
$$F(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+3x$$
である（定積分では積分定数 $C$ は差をとると消えるので、書かなくてよい）。

手順2：$F(b)-F(a)$ の形にする。
$${\int }_{-1}^2\left(x^2-2x+3\right)dx=[\frac{1}{3}{x}^3-x^2+3x{]}_{-1}^2=F(2)-F(-1)$$

手順3：上端と下端の値を代入する。
$$F(2)=\frac{8}{3}-4+6=\frac{8}{3}+2=\frac{14}{3}$$
$$F(-1)=\frac{1}{3}\cdot (-1{)}^3-(-1{)}^2+3\cdot (-1)=-\frac{1}{3}-1-3=-\frac{13}{3}$$

手順4：差を計算する。
$$F(2)-F(-1)=\frac{14}{3}-\left(-\frac{13}{3}\right)=\frac{27}{3}=9$$

よって、求める値は $9$ である。

原始関数は $\frac{x^3}{3}-x^2+3x$。上端 $x=2$ では $\frac{8}{3}-4+6=\frac{14}{3}$。下端 $x=-1$ では $-\frac{1}{3}-1-3=-\frac{13}{3}$。よって値は $\frac{14}{3}-\left(-\frac{13}{3}\right)=\frac{27}{3}=9$。検算：各項を別々に積分すると、${\int }_{-1}^2{x}^{2}dx=\frac{8+1}{3}=3$、${\int }_{-1}^{2}2xdx=[x^2{]}_{-1}^2=4-1=3$、${\int }_{-1}^{2}3dx=9$。したがって $3-3+9=9$ となり一致する。