微分法と積分法の問題

手順1：導関数を求める

多項式の微分の公式 $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ を使うと
$$f^{\prime }(x)=6x^2+6x-12=6(x^2+x-2)=6(x+2)(x-1)$$
となる。

手順2：$f^{\prime }(x)=0$ となる $x$ を求める

$6(x+2)(x-1)=0$ より $x=-2,1$ である。

手順3：$f^{\prime }(x)$ の符号を調べる

$f^{\prime }(x)=6(x+2)(x-1)$ のグラフは下に凸の放物線で、$x=-2,1$ で $x$ 軸と交わる。したがって
- $x<-2$ のとき $f^{\prime }(x)>0$
- $-2<x<1$ のとき $f^{\prime }(x)<0$
- $x>1$ のとき $f^{\prime }(x)>0$

手順4：増減表を作る

$$\begin{array}{cccccc}x& \cdots & -2& \cdots & 1& \cdots \\ f^{\prime }(x)& +& 0& -& 0& +\\ f(x)& \nearrow & 21& \searrow & -6& \nearrow \end{array}$$

ここで、極値は次のように計算した。
$$f(-2)=2\cdot (-8)+3\cdot 4-12\cdot (-2)+1=-16+12+24+1=21$$
$$f(1)=2+3-12+1=-6$$

手順5：極値を読み取る

$f^{\prime }(x)$ の符号が $x=-2$ で正から負に変わるので、$f(x)$ は $x=-2$ で極大となる。符号が $x=1$ で負から正に変わるので、$f(x)$ は $x=1$ で極小となる。

よって、極大値は $21$（$x=-2$ のとき）、極小値は $-6$（$x=1$ のとき）である。

答え：$(21,-6)$

$f^{\prime }(x)=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1)$ より、$f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=-2,1$。
増減は、$x<-2$ で $f^{\prime }>0$、$-2<x<1$ で $f^{\prime }<0$、$x>1$ で $f^{\prime }>0$。よって $x=-2$ で極大、$x=1$ で極小。
極大値 $f(-2)=2(-8)+3\cdot 4-12(-2)+1=-16+12+24+1=21$。
極小値 $f(1)=2+3-12+1=-6$。
検算：$f(0)=1$ は $-6$ と $21$ の間にあり、$x=-2$ から $x=1$ で減少していることと整合する。
答え：極大値 $21$、極小値 $-6$。