微分法と積分法の問題

手順1：導関数を求める。

$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ を使って微分すると
$$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9$$
となる。

手順2：$f^{\prime }(x)=0$ となる $x$ を求める。

$$f^{\prime }(x)=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$$
なので、$f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=1,3$ である。

手順3：$f^{\prime }(x)$ の符号を調べる。

$y=3(x-1)(x-3)$ は下に凸の放物線で、$x$ 軸と $x=1,3$ で交わる。よって
- $x<1$ のとき $f^{\prime }(x)>0$
- $1<x<3$ のとき $f^{\prime }(x)<0$
- $x>3$ のとき $f^{\prime }(x)>0$

手順4：極値の候補での値を計算する。

$$f(1)=1-6+9+1=5,f(3)=27-54+27+1=1$$

手順5：増減表を作る。

$$\begin{array}{cccccc}x& \cdots & 1& \cdots & 3& \cdots \\ f^{\prime }(x)& +& 0& -& 0& +\\ f(x)& \nearrow & 5& \searrow & 1& \nearrow \end{array}$$

$x=1$ の前後で $f^{\prime }(x)$ の符号が正から負に変わるので、$f(x)$ は $x=1$ で極大となる。$x=3$ の前後で負から正に変わるので、$x=3$ で極小となる。

したがって、極大値は $5$（$x=1$ のとき）、極小値は $1$（$x=3$ のとき）である。

なお、グラフは点 $(1,5)$ まで増加し、そこから点 $(3,1)$ まで減少し、その後は再び増加する形になる。

答え：極大値 $5$、極小値 $1$

$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$。$f^{\prime }(x)=0$ より $x=1,3$。$x<1$ で $f^{\prime }>0$、$1<x<3$ で $f^{\prime }<0$、$x>3$ で $f^{\prime }>0$ なので、$x=1$ で極大、$x=3$ で極小となる。極大値は $f(1)=1-6+9+1=5$。極小値は $f(3)=27-54+27+1=1$。検算：$f(2)=8-24+18+1=3$ で、1 と 5 の間の値となり増減と合う。