微分法と積分法の問題

手順 1：導関数を求める

多項式の微分の公式 $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ を使うと
$$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)$$

手順 2：$f^{\prime }(x)=0$ となる $x$ を求める

$3(x-1)(x-3)=0$ より $x=1,3$ です。

手順 3：$f^{\prime }(x)$ の符号を調べる

$f^{\prime }(x)=3(x-1)(x-3)$ は下に凸の放物線を表す 2 次式なので、
- $x<1$ のとき $f^{\prime }(x)>0$
- $1<x<3$ のとき $f^{\prime }(x)<0$
- $x>3$ のとき $f^{\prime }(x)>0$

です。

手順 4：極値の候補での $f(x)$ の値を計算する
$$f(1)=1-6+9+1=5$$
$$f(3)=27-54+27+1=1$$

手順 5：増減表を作る
$$\begin{array}{cccccc}x& \cdots & 1& \cdots & 3& \cdots \\ f^{\prime }(x)& +& 0& -& 0& +\\ f(x)& \nearrow & 5& \searrow & 1& \nearrow \end{array}$$

$x=1$ の前後で $f(x)$ は増加から減少に変わるので、$x=1$ で極大となります。$x=3$ の前後で減少から増加に変わるので、$x=3$ で極小となります。

よって、$f(x)$ は $x=1$ で極大値 $5$、$x=3$ で極小値 $1$ をとります。

答え：極大値 $5$、極小値 $1$

$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$ より、$f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=1,3$。
増減は、$x<1$ で $f^{\prime }>0$、$1<x<3$ で $f^{\prime }<0$、$x>3$ で $f^{\prime }>0$。よって $x=1$ で極大、$x=3$ で極小となる。
極大値 $f(1)=1-6+9+1=5$。
極小値 $f(3)=27-54+27+1=1$。
検算：$f(0)=1$、$f(2)=8-24+18+1=3$ で、$f(1)=5>f(2)=3>f(3)=1$ となり、増減表と合う。
よって極大値は 5、極小値は 1。