微分法と積分法の問題

多項式の微分では、次の公式と性質を使います。

• $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$（$n$ は正の整数）
• $(x{)}^{\prime }=1$、定数 $c$ について $(c{)}^{\prime }=0$
• 微分の線形性：$k,l$ を定数として $\{kf(x)+lg(x){\}}^{\prime }=k{f}^{\prime }(x)+l{g}^{\prime }(x)$

まず、線形性を使って項ごとに分け、係数を前に出します。
$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }+4(x^2{)}^{\prime }-6(x{)}^{\prime }+(1{)}^{\prime }$$

次に、各項を公式で微分します。
$$(x^3{)}^{\prime }=3x^2,(x^2{)}^{\prime }=2x,(x{)}^{\prime }=1,(1{)}^{\prime }=0$$

これらを代入します。
$$f^{\prime }(x)=3x^2+4\cdot 2x-6\cdot 1+0=3x^2+8x-6$$

よって、$f^{\prime }(x)=3x^2+8x-6$ です。

各項を微分する。$(x^3{)}^{\prime }=3x^2$、$(4x^2{)}^{\prime }=8x$、$(-6x{)}^{\prime }=-6$、$(1{)}^{\prime }=0$。よって $f^{\prime }(x)=3x^2+8x-6$。検算として $x=1$ を代入する。$f(x)=x^3+4x^2-6x+1$ の $x=1$ での微分係数は $3+8-6=5$。$f(1.001)\approx 1.003003+4(1.002001)-6.006+1=1.003003+4.008004-6.006+1=0.005007$、$f(1)=1+4-6+1=0$。差は約 $0.005$ で、$f^{\prime }(1)\cdot 0.001=0.005$ と一致する。