微分法と積分法の問題

多項式の微分では、次の 2 つを使います。

• $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$（$n$ は正の整数）、定数 $c$ について $(c{)}^{\prime }=0$
• 微分の線形性：$\{kf(x)+lg(x){\}}^{\prime }=k{f}^{\prime }(x)+l{g}^{\prime }(x)$（$k,l$ は定数）

線形性により、項ごとに微分し、係数はそのまま前に残します。

$$f^{\prime }(x)=2(x^3{)}^{\prime }-5(x^2{)}^{\prime }+4(x{)}^{\prime }-(7{)}^{\prime }$$

それぞれの項を微分します。

• $(x^3{)}^{\prime }=3x^2$ なので、$2(x^3{)}^{\prime }=2\cdot 3x^2=6x^2$
• $(x^2{)}^{\prime }=2x$ なので、$-5(x^2{)}^{\prime }=-5\cdot 2x=-10x$
• $(x{)}^{\prime }=1$ なので、$4(x{)}^{\prime }=4\cdot 1=4$
• 定数の導関数は $0$ なので、$(7{)}^{\prime }=0$

これらを合わせると
$$f^{\prime }(x)=6x^2-10x+4$$
となります。

各項を微分する。$(2x^3{)}^{\prime }=6x^2$、$(-5x^2{)}^{\prime }=-10x$、$(4x{)}^{\prime }=4$、定数項 $-7$ の微分は $0$。よって $f^{\prime }(x)=6x^2-10x+4$。検算として $x=1$ を代入すると、$f^{\prime }(1)=6-10+4=0$。一方、$f(1+h)=2(1+3h+3h^2+h^3)-5(1+2h+h^2)+4(1+h)-7$ を展開すると、$h$ の係数は $6-10+4=0$ となり一致する。