微分法と積分法の問題

区間での最小値は、区間の両端の値と区間内の極値を比べて求めます。

手順1：導関数を求めて、$f^{\prime }(x)=0$ となる $x$ を調べる
$$f^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x+1)(x-2)$$
よって、$f^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=-1,2$ です。どちらも区間 $-2\le x\le 3$ に含まれます。

手順2：増減表をかく（区間の両端も入れる）
$$\begin{array}{cccccccc}x& -2& \cdots & -1& \cdots & 2& \cdots & 3\\ f^{\prime }(x)& & +& 0& -& 0& +& \\ f(x)& -3& \nearrow & 8& \searrow & -19& \nearrow & -8\end{array}$$

表の値は次のように計算します。
- $f(-2)=2\cdot (-8)-3\cdot 4-12\cdot (-2)+1=-16-12+24+1=-3$
- $f(-1)=2\cdot (-1)-3\cdot 1-12\cdot (-1)+1=-2-3+12+1=8$（極大値）
- $f(2)=2\cdot 8-3\cdot 4-12\cdot 2+1=16-12-24+1=-19$（極小値）
- $f(3)=2\cdot 27-3\cdot 9-12\cdot 3+1=54-27-36+1=-8$

手順3：最小値の候補を比べる
最小値の候補は、区間の左端の値 $f(-2)=-3$ と極小値 $f(2)=-19$ です（$x=3$ の値 $-8$ は、増加している途中の値なので $-19$ より大きい）。
$$-19<-8<-3$$
よって、最小値は $x=2$ のときの $-19$ です。

答え：$-19$

$f^{\prime }(x)=6x^2-6x-12=6(x-2)(x+1)$ より、極値をとる候補は $x=-1,2$。
増減：$-2\le x<-1$ で $f^{\prime }>0$（増加）、$-1<x<2$ で $f^{\prime }<0$（減少）、$2<x\le 3$ で $f^{\prime }>0$（増加）。
各点の値：
$f(-2)=2(-8)-3(4)-12(-2)+1=-16-12+24+1=-3$
$f(-1)=-2-3+12+1=8$
$f(2)=16-12-24+1=-19$
$f(3)=54-27-36+1=-8$
最小値は $x=2$ のときの $-19$。
検算：$f(2)=2\cdot 8-3\cdot 4-24+1=16-12-24+1=-19$。他の端点・極大値より小さい。