区間での最大・最小

関数 $f(x)=2x^3-3x^2-12x$ の $-2\le x\le 3$ における最大値と最小値を、この順に求めよ。

関数 $$f(x)=-x^3+3x^2+9x-2$$ の $-2\le x\le 4$ における最大値と最小値を、この順に求めよ。

関数 $f(x)=2x^3-3x^2-12x+1$ の $-2\le x\le 3$ における最小値を求めよ。

放物線 $y=4-x^2$ と $x$ 軸の交点を $\mathrm{A}(-2,0)$, $\mathrm{B}(2,0)$ とする。実数 $t$ が $0<t<2$ の範囲を動くとき、放物線上の 2 点 $\mathrm{P}(t,4-t^2)$, $\mathrm{Q}(-t,4-t^2)$ をとる。四角形 $\mathrm{ABPQ}$ の面積の最大値を求めよ。

$X=[0,2]\times [0,2]\subset {\mathbb{R}}^2$ とし、次の最適化問題 $(\mathrm{P})$ を考える。
$$(\mathrm{P})\text{minimize}-x_1{x}_2\text{subject to}{x}_1+2x_2\le 2,x=(x_1,x_2)\in X.$$
$(\mathrm{P})$ の最適値を $p^{\ast }$ とする。制約 $x_1+2x_2\le 2$ だけを乗数 $\lambda \ge 0$ で緩和したラグランジュ双対関数
$$g(\lambda )=\underset{x\in X}{\min }\{-x_1{x}_2+\lambda (x_1+2x_2-2)\}$$
を用い、双対問題の最適値を $d^{\ast }={\sup }_{\lambda \ge 0}g(\lambda )$ とする。双対ギャップ $p^{\ast }-d^{\ast }$ を求めよ。

放物線 $C:y=x^2$ 上に $2$ 点 $\mathrm{P}(t,t^2)$, $\mathrm{Q}(t+2,(t+2{)}^2)$ をとる。実数 $t$ が $-1\le t\le 1$ の範囲を動くとき、線分 $\mathrm{PQ}$ が通過する部分の面積を求めよ。

長さ $L$ のまっすぐな中空の丸軸 $\mathrm{AB}$ がある。断面は全長にわたって一様な円環で、外径は $d$、内径は $\frac{d}{2}$ である。軸の材料の横弾性係数（せん断弾性係数）は $G$ である。軸の両端 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ は、ともに剛体の壁に固定されていて回転できない。

端 $\mathrm{A}$ を原点とし、軸にそって $\mathrm{B}$ の向きに座標 $x$（$0\le x\le L$）をとる。この軸に、軸線のまわりのねじりモーメントを分布させて加える。位置 $x$ での単位長さあたりのねじりモーメントの大きさは $t(x)=t_0\frac{x}{L}$（$t_0>0$ は定数）で、向きは全長にわたって同じである。

材料は線形弾性体で、変形は微小とし、断面は平面を保ったまま剛体的に回転するものとする（初等的なねじり理論に従う）。このとき、軸の各断面の回転角（ねじれ角）の大きさの最大値を、$t_0$, $L$, $G$, $d$ を用いて求めよ。回転角の単位はラジアンとする。

弾性床の上に置かれた十分に長い一様な梁（鉄道のレールのモデル）を考える。梁は $x$ 軸に沿って置かれており、梁の単位長さあたりの質量を $\mu$、曲げ剛性を $D$ とする。梁の下の弾性床は、梁の単位長さあたりばね定数 $\kappa$ のばねとしてはたらく（$\mu >0$, $D>0$, $\kappa >0$）。梁の鉛直方向の微小変位 $u(x,t)$ は、方程式
$$\mu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=-D\frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}-\kappa u$$
に従うものとする（減衰と重力によるつり合いの位置からのずれは考えない）。

この梁を伝わる正弦波 $u=A\cos (kx-\omega t)$（$k>0$, $\omega >0$）について、位相速度 $\omega /k$ は $k$ のある値で最小になる。その波数での群速度 $\frac{d\omega }{dk}$ を $\mu$, $D$, $\kappa$ を用いて表せ。

関数 $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$ の $-2\le x\le 4$ における最大値と最小値を、この順に求めよ。

$a$ を実数の定数とし、$f(x)=x^3-ax$ とする。$0\le x\le 2$ における $|f(x)|$ の最大値を $M(a)$ とする。$a$ がすべての実数を動くとき、$M(a)$ の最小値を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、
$$f(x)=2x^3-3(a+1)x^2+6ax$$
とする。区間 $0\le x\le 2$ における $f(x)$ の最大値を $M(a)$、最小値を $m(a)$ とする。$M(a)-m(a)$ が最小となるような $a$ の値の範囲を求めよ。

$a$ を実数の定数とし、関数
$$f(x)=x^3-3(a+1)x^2+12ax$$
を考える。$x\ge 0$ を満たすすべての実数 $x$ に対して $f(x)\ge 0$ が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。

実数 $x,y$ が $x^2+y^2=2$ を満たしながら動くとき、
$$P=x^3+y^3+3xy$$
の最大値と最小値を、この順に求めよ。

$a$ を実数の定数とする。
$$S(a)={\int }_0^{3}x|x-a|dx$$
とおくとき、$a$ がすべての実数を動くときの $S(a)$ の最小値を求めよ。

アリー効果をもつ生物の個体数 $x(t)(\geqq 0)$ に、捕獲努力 $h$ に比例する捕獲を加えたモデル
$$\frac{dx}{dt}=4x(x-3)(8-x)-hx$$
を考える。ここで $h$ は $0<h<25$ を満たす定数である。

このとき、$x>0$ の範囲にある平衡点のうち漸近安定なものはただ 1 つ存在する。それを $x^{\ast }(h)$ とし、その平衡点での単位時間あたりの捕獲量を $Y(h)=h{x}^{\ast }(h)$ とする。$0<h<25$ における $Y(h)$ の最大値を求めよ。

長さ $L$ の単相 2 線式の配電線（フィーダ）の送電端 $x=0$ から、線路に沿って一様に分布した負荷に電力を送る。配電線の往復の抵抗は単位長さあたり $r$ で一様である。負荷は線路上に一様に分布しており、負荷全体の電流の大きさは $I$、力率は $0.8$（遅れ）である。すなわち、送電端からの距離が $x$ と $x+dx$ の間の負荷は、大きさ $Idx/L$、力率 $0.8$（遅れ）の電流を引き出す。

ここで、送電端から距離 $x_0$（$0\le x_0\le L$）の点に、進み電流の大きさが $I_C$ のコンデンサを 1 台だけ並列に接続する。線路に沿った電圧降下は小さく、線路上のすべての点の電圧は大きさ・位相とも送電端の電圧に等しいとみなしてよい（したがって、各点の負荷電流とコンデンサ電流の位相は一定である）。コンデンサ自体の損失は無視する。

$x_0$ と $I_C$ をともに選んで配電線の抵抗損失（線路全体のジュール損失）を最小にする。このときの $\frac{x_0}{L}$、$\frac{I_C}{I}$、および $\frac{P_1}{P_0}$ を、この順に組 $\left(\frac{x_0}{L},\frac{I_C}{I},\frac{P_1}{P_0}\right)$ で求めよ。ただし $P_0$ はコンデンサを接続しないときの線路損失、$P_1$ は最小化したときの線路損失である。値は既約分数で答えよ。

$f(x)$ は実数を係数とする $3$ 次以下の整式で、$0\le x\le 1$ を満たすすべての実数 $x$ に対して
$$|f(x)|\le 1$$
が成り立つとする。このような $f(x)$ すべてを考えるとき、$f^{\prime }(1)$ の最大値を求めよ。

関数 $f(x)=x^3-3x$ を考える。実数 $t$ に対して、区間 $t\le x\le t+1$ における $f(x)$ の最大値から最小値を引いた値を $g(t)$ とする。$t$ がすべての実数を動くとき、$g(t)$ の最小値を求めよ。

実数 $t$ に対して、関数 $g(t)$ を
$$g(t)={\int }_t^{t+2}\left|x^2-3x\right|dx$$
で定める。$t$ がすべての実数を動くとき、$g(t)$ の最小値を求めよ。

$m$ を $0<m<2$ を満たす実数とする。曲線 $C:y=|x^2-1|$ と直線 $\ell :y=m(x+1)$ で囲まれた部分は $2$ つある。それらの面積の和を $S(m)$ とする。$m$ が $0<m<2$ の範囲を動くとき、$S(m)$ の最小値を求めよ。

関数 $f(x)=x^4-2x^2$ を考える。実数 $t$ に対して、区間 $t\le x\le t+1$ における $f(x)$ の最大値を $g(t)$ とする。$t$ がすべての実数を動くとき、$g(t)$ の最小値を求めよ。