管路損失がある水車の最大出力

管摩擦損失が流量の 2 乗に比例することから水車出力を $P (Q) = η ρ g Q (H - k Q^{2})$ と流量の関数で表し、微分して出力が最大になる流量（損失ヘッドが総落差の $1/3$ になる条件）と最大出力を求められる

前提

ポンプ・水車の動力と効率（大学物理流体工学）
区間での最大・最小（数学II 微分法と積分法）

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算数中学高校大学大学院

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説明

水力発電では、流量 $Q$ を増やすと水車に流れる水は増えますが、管路の損失ヘッドも増えて有効落差が減ります。そのため出力は流量を増やすほど大きくなるわけではなく、ちょうどよい流量で最大になります。この技能では、損失ヘッドが流量の 2 乗に比例することを使って出力を $P (Q) = η ρ g Q (H - k Q^{2})$ と流量の関数で表し、微分して出力が最大になる流量と最大出力を求めます。結果として、最大出力のときには損失ヘッドが総落差 $H$ のちょうど $1/3$ になることがわかります。

なぜそうしてよいのか

管内流速を $v$ 、管の断面積を $A$ とすると $Q = A v$ です。管摩擦損失 $λ \frac{L}{D} \frac{v ^{2}}{2 g}$ や局所損失 $ζ \frac{v ^{2}}{2 g}$ はどれも $v^{2}$ に比例し、 $v = Q / A$ なので、係数が一定とみなせれば損失ヘッドの合計は $h_{loss} = k Q^{2}$ （ $k > 0$ は管路で決まる定数、単位は $s^{2} / m^{5}$ ）と書けます。前提の技能より、水車の出力は有効落差 $H - h_{loss}$ を使って $η ρ g Q (H - h_{loss})$ なので、
$P (Q) = η ρ g Q (H - k Q^{2}) = η ρ g (H Q - k Q^{3})$
となります。ここで $H$ は総落差、 $η$ は効率（一定とする）です。

$Q$ は 0 以上で、有効落差が負にならない $H - k Q^{2} \geq 0$ 、つまり $0 \leq Q \leq H / k$ の範囲で考えます。両端では $P (0) = 0$ 、 $P (H / k) = 0$ です。流量が少なすぎると水が少なく、多すぎると落差がすべて損失に食われてしまうので、途中に最大があります。 $P^{'} (Q) = η ρ g (H - 3 k Q^{2})$ は $0 < Q < \frac{H}{3 k}$ で正、 $\frac{H}{3 k} < Q \leq H / k$ で負なので、 $P$ は $Q_{0} = \frac{H}{3 k}$ で増加から減少に変わり、ここで最大になります。

このとき損失ヘッドは $k Q_{0}^{2} = \frac{H}{3}$ 、有効落差は $\frac{2 H}{3}$ です。「損失が総落差の $1/3$ のとき最大」という覚えやすい条件はここから来ています。最大出力は $P_{m a x} = η ρ g Q_{0} \cdot \frac{2 H}{3} = \frac{2}{3} η ρ g H \frac{H}{3 k}$ です。

手順

損失ヘッドを流量で表す： $h_{loss} = k Q^{2}$ （ $k$ が与えられていなければ、ある流量での損失から $k = h_{loss} / Q^{2}$ として求める）
出力を流量の関数にする： $P (Q) = η ρ g Q (H - k Q^{2})$ 、範囲は $0 \leq Q \leq H / k$
微分して 0 とおく： $P^{'} (Q) = η ρ g (H - 3 k Q^{2}) = 0$ より $Q_{0} = \frac{H}{3 k}$
増減（または両端で $P = 0$ であること）を確かめ、 $Q_{0}$ で最大になることを確認する
$Q_{0}$ を代入して最大出力を求める。このとき有効落差は $\frac{2 H}{3}$ なので $P_{m a x} = η ρ g Q_{0} \cdot \frac{2 H}{3}$

例題

総落差 $H = 75 m$ の水力発電所で、管路の損失ヘッドは流量 $Q$ [m $^{3}$ /s] を用いて $h_{loss} = 4 Q^{2}$ [m] と表される。水車と発電機を合わせた効率を $η = 0.80$ （流量によらず一定）、水の密度を $ρ = 1000 kg/ m^{3}$ 、重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ とする。流量を調節したときの発電出力の最大値 [kW] を求めよ。

例題の解答

【手順 1】 $h_{loss} = k Q^{2}$ で $k = 4 s^{2} / m^{5}$ 。

【手順 2】 $P (Q) = η ρ g Q (75 - 4 Q^{2})$ 、範囲は $0 \leq Q \leq 75/4$ 。

【手順 3】 $P^{'} (Q) = η ρ g (75 - 12 Q^{2}) = 0$ より $Q^{2} = \frac{75}{12} = 6.25$ 、 $Q > 0$ より $Q_{0} = 2.5 m^{3} /s$ 。

【手順 4】 $0 < Q < 2.5$ で $P^{'} > 0$ 、 $2.5 < Q \leq 75/4$ で $P^{'} < 0$ なので、 $Q_{0} = 2.5$ で最大。

【手順 5】このとき損失ヘッドは $4 \times 2. 5^{2} = 25 m$ （総落差の $1/3$ ）、有効落差は $75 - 25 = 50 m$ 。よって $P_{m a x} = 0.80 \times 1000 \times 9.8 \times 2.5 \times 50 = 980000 W = 980 kW$ 。

答え: $980$

よくある誤り

損失ヘッドが総落差の半分になるときに最大としてしまう誤り（ $Q$ の 2 次関数 $Q (H - k Q)$ と取り違えている）。 $P$ は $H Q - k Q^{3}$ に比例する 3 次関数なので、正しくは $P^{'} = 0$ から $k Q^{2} = \frac{H}{3}$ 、損失は総落差の $1/3$ 。
微分で $\frac{d}{d Q} (Q \cdot k Q^{2}) = 2 k Q^{2}$ のように積の微分を誤る誤り。 $Q (H - k Q^{2}) = H Q - k Q^{3}$ と展開してから微分すれば、正しくは $P^{'} (Q) = η ρ g (H - 3 k Q^{2})$ 。
最大出力の計算で、有効落差の代わりに総落差 $H$ を使って $η ρ g Q_{0} H$ としてしまう誤り（例題では $1470 kW$ になってしまう）。正しくは有効落差 $H - k Q_{0}^{2} = \frac{2 H}{3}$ を使い $η ρ g Q_{0} \cdot \frac{2 H}{3}$ （例題では $980 kW$ ）。
流量を大きくするほど出力が増えると考えて、範囲の右端 $Q = H / k$ を選んでしまう誤り。そこでは有効落差が 0 で $P = 0$ 。正しくは端の値 $P (0) = P (H / k) = 0$ と極大値を比べ、 $Q_{0} = \frac{H}{3 k}$ を選ぶ。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
総落差 $H = 60 m$ の貯水池から、管路を通して水車に水を送り発電する。管路で生じる損失ヘッドは流量 $Q [m^{3} /s]$ の 2 乗に比例し、 $h_{loss} = k Q^{2}$ （ $k = 20 s^{2} / m^{5}$ ）で表される。水車の有効落差は $H - k Q^{2}$ で、水車と発電機を合わせた効率は流量によらず $η = 0.80$ とする。水の密度を $ρ = 1.0 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$ 、重力加速度の大きさを $g = 9.8 m/ s^{2}$ とする。流量 $Q$ は $0 < Q < H / k$ の範囲で自由に調節できるものとする。
流量を調節したときの発電出力の最大値は何 W か。整数で求めよ。

管路損失がある水車の最大出力

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題