力学的エネルギー保存則

保存力だけが仕事をするとき $\frac{1}{2} m v^{2} + m g h + \frac{1}{2} k x^{2} =$ 一定を使い、ある位置での速さや最高点の高さを求められる。糸でつながった 2 物体のように、物体系全体の力学的エネルギー保存も使える

前提

運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）

この技能までの道筋（46 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

四則の混じった計算の順序（算数計算と数のきまり）
三角形・四角形の面積（算数平面図形）
分数のたし算・ひき算（算数計算と数のきまり）
小数の四則計算（算数計算と数のきまり）
正負の数の加法・減法（中学数学数と式）
分数のかけ算・わり算（算数計算と数のきまり）
正負の数の乗除・累乗と四則混合（中学数学数と式）
約数の見つけ方（算数整数の性質）
素因数分解と約数の個数（算数整数の性質）
平方根の意味と根号の簡単化（中学数学数と式）
三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
特別な直角三角形の辺の比（中学数学相似と三平方の定理）
小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）
三角形の角の大きさ（算数平面図形）
相似な三角形と長さの比（算数平面図形）
対頂角と平行線の同位角・錯角（中学数学平面図形）
三角形の相似条件と対応する辺の長さ（中学数学相似と三平方の定理）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）
三角形の外角と角の組み合わせ（中学数学平面図形）
逆算（□ を求める）（算数計算と数のきまり）
分配法則を使った計算のくふう（算数計算と数のきまり）
文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）
二等辺三角形の角（中学数学平面図形）
平行四辺形と特別な四角形の性質（中学数学平面図形）
乗法公式による展開（中学数学数と式）
折り返した図形の角と長さ（中学数学平面図形）
三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）
重力と力の大きさ（中学理科力のはたらき）
2 力のつり合いと作用・反作用（中学理科力のはたらき）
力の種類とはたらき（中学理科物理分野の用語と知識）
重力・垂直抗力・張力の性質（高校物理力と運動（知識））
慣性の法則と力のつり合い（高校物理力と運動（知識））
力の分解と質点のつり合い（高校物理力と運動）
静止摩擦力・最大摩擦力・動摩擦力（高校物理力と運動（知識））
静止摩擦力と動摩擦力（高校物理力と運動）
仕事（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動エネルギーと仕事の関係（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
弾性力とフックの法則（高校物理力と運動（知識））
重力と弾性力の位置エネルギー（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
運動の法則（運動方程式）（高校物理力と運動（知識））
運動方程式（高校物理力と運動）
糸でつながれた物体の運動（高校物理力と運動）

説明

力学的エネルギー保存則を使うと、途中の運動を細かく追わずに、2 つの位置の状態を比べるだけで速さや高さが求まります。保存力（重力・ばねの弾性力）だけが仕事をする場合には、 $\frac{1}{2} m v^{2} + m g h + \frac{1}{2} k x^{2}$ の値が運動の間ずっと変わりません。斜面やなめらかな曲面を滑る物体、ばねではじき出される物体、振り子などで、ある位置での速さや最高点の高さを求めるときに使います。糸でつながった 2 物体のように、いくつかの物体をまとめた系にも使えます。

なぜそうしてよいのか

出発点は運動エネルギーと仕事の関係 $\frac{1}{2} m v_{B}^{2} - \frac{1}{2} m v_{A}^{2} = W$ です。物体が位置 A から位置 B へ動くとき、重力がする仕事は通った道すじによらず、高さだけで $m g h_{A} - m g h_{B}$ と決まります（ $h$ は、決めた基準から鉛直上向きに測った高さで、基準より下なら負の値です）。ばねの弾性力がする仕事も、自然長からの伸び（縮み） $x$ だけで $\frac{1}{2} k x_{A}^{2} - \frac{1}{2} k x_{B}^{2}$ と決まります。このように仕事が始めと終わりの位置だけで決まる力を保存力といい、位置エネルギーはこの仕事を表すためにつくった量です。

それ以外の力（垂直抗力、糸の張力など）がした仕事が 0 なら、 $W$ は重力と弾性力の仕事だけになります。代入すると $\frac{1}{2} m v_{B}^{2} - \frac{1}{2} m v_{A}^{2} = (m g h_{A} - m g h_{B}) + (\frac{1}{2} k x_{A}^{2} - \frac{1}{2} k x_{B}^{2})$ となり、移項すると $\frac{1}{2} m v_{A}^{2} + m g h_{A} + \frac{1}{2} k x_{A}^{2} = \frac{1}{2} m v_{B}^{2} + m g h_{B} + \frac{1}{2} k x_{B}^{2}$ が得られます。これが力学的エネルギー保存則です。なめらかな面の垂直抗力は運動の向きと常に垂直なので仕事をしません。一方、動摩擦力は運動と逆向きで負の仕事をするので、はたらくときはこの法則はそのままでは使えません。

糸でつながった 2 物体では、糸は軽くて伸びず、滑車（使う場合）は軽くてなめらかで糸との間に摩擦がない、という前提をおきます。このとき糸の張力の大きさ $T$ は糸のどこでも等しく、2 物体が動く距離 $ℓ$ も速さも等しくなります。張力は一方の物体には運動の向きに引くので $+ T ℓ$ 、もう一方には運動と逆向きに引くので $- T ℓ$ の仕事をし、合計は 0 になります。そのため 2 物体の力学的エネルギーの和が保存されます。

手順

保存力（重力・弾性力）以外の力が仕事をしないことを確かめる。なめらかな面の垂直抗力は仕事 0、摩擦があれば使えない。糸でつながった物体は（糸が軽くて伸びず、滑車が軽くてなめらかなとき）2 物体をまとめて考える
比べる 2 つの状態（例：はなした瞬間と最高点）を決め、高さの基準を 1 つ決める。 $h$ は基準から上向きに測り、ばねの $x$ は自然長からの伸び・縮みで測る
それぞれの状態で力学的エネルギー $\frac{1}{2} m v^{2} + m g h + \frac{1}{2} k x^{2}$ を書く（系のときは全物体の和）
2 つの状態の力学的エネルギーを等号で結び、求めたい速さや高さについて解く

例題

なめらかな水平面の左端に壁があり、ばね定数 $k$ の軽いばねの左端が壁に固定されている。水平面の右側は、なめらかな斜面になめらかにつながっている。質量 $m$ の小物体をばねの右端に押し当て、ばねを自然長から $d$ だけ縮めて静かにはなしたところ、小物体はばねが自然長になったところでばねから離れ、水平面を進んで斜面を上った。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。小物体が斜面上で達する最高点の、水平面からの高さ $H$ を求めよ。

例題の解答

手順 1：小物体にはたらく力は重力、垂直抗力、ばねの弾性力である。面はなめらかなので摩擦はなく、垂直抗力は運動の向きと垂直で仕事をしない。空気抵抗も無視するので、力学的エネルギー保存則が使える。

手順 2：比べる状態を「はなした瞬間（状態 A）」と「斜面上の最高点（状態 B）」とし、高さの基準を水平面にとる（上向きを正）。状態 A ではばねの縮みは $d$ 、静かにはなしたので速さは 0。状態 B ではばねは自然長（縮み 0）で、最高点では斜面に沿って一瞬止まるので速さは 0 である。

手順 3：状態 A： $\frac{1}{2} m \cdot 0^{2} + m g \cdot 0 + \frac{1}{2} k d^{2} = \frac{1}{2} k d^{2}$ 。状態 B： $\frac{1}{2} m \cdot 0^{2} + m g H + \frac{1}{2} k \cdot 0^{2} = m g H$ 。

手順 4： $\frac{1}{2} k d^{2} = m g H$ より $H = \frac{k d ^{2}}{2 m g}$ 。

答え: $\frac{k d ^{2}}{2 m g}$

よくある誤り

摩擦のある面でも $\frac{1}{2} m v^{2} + m g h$ が一定としてしまう誤り。正しくは動摩擦力の仕事 $W^{'}$ （負）を入れて $(\frac{1}{2} m v_{B}^{2} + m g h_{B}) - (\frac{1}{2} m v_{A}^{2} + m g h_{A}) = W^{'}$ とする。
ばねの $x$ にばねの長さそのものを入れてしまう誤り。正しくは自然長からの伸び・縮みで、自然長 $0.20 m$ のばねが $0.15 m$ になったときは $x = 0.05 m$ として $\frac{1}{2} k x^{2}$ を計算する。
斜面に沿って進んだ距離 $L$ を高さとして $m g L$ としてしまう誤り。正しくは傾きの角 $θ$ の斜面なら高さは $L sin θ$ で、位置エネルギーは $m g L sin θ$ 。
軽くてなめらかな定滑車にかけた軽くて伸びない糸でつながった質量 $M$ （下降）と $m$ （上昇、 $M > m$ ）の 2 物体を、はじめ静止の状態から静かにはなしたとき、一方の運動エネルギーだけを書いてしまう誤り。正しくは高さ $h$ 動いたとき 2 物体の速さ $v$ は等しく、2 物体の和で $(M - m) g h = \frac{1}{2} (M + m) v^{2}$ とする（はじめに速さ $v_{0}$ があれば左辺に $\frac{1}{2} (M + m) v_{0}^{2}$ を加える）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

摩擦がある場合のエネルギーの変化（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
反発係数と床との衝突（高校物理仕事・エネルギーと運動量）
力学的エネルギーが保存される条件（高校物理仕事・エネルギーと運動量（知識））
鉛直面内の円運動の張力・垂直抗力（高校物理円運動・単振動・万有引力）
単振動のエネルギー（高校物理円運動・単振動・万有引力）
万有引力による位置エネルギーと脱出速度（高校物理円運動・単振動・万有引力）
保存力とポテンシャル（大学物理力学（質点・剛体））
重心運動と相対運動（大学物理力学（質点・剛体））
固定軸のまわりの回転と転がり運動（大学物理力学（質点・剛体））
ベルヌーイの式とヘッド（大学物理流体工学）