なめらかな斜面が、粗い水平な床に点 B でなめらかにつながっている。斜面上の、床からの高さ の点 A に小物体を置き、静かにはなした。小物体は斜面をすべり下りて点 B を通過し、粗い床の上をすべった。点 C は床の上にあり、点 B から小物体の進む向きに 離れた点である。小物体と床のあいだの動摩擦係数を 、重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視する。小物体が点 C を通過するときの速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。
なめらか粗い面
摩擦がある場合のエネルギーの変化
力学的エネルギーの変化が動摩擦力の仕事 に等しいことを使い、粗い面や粗い斜面を通過した後の速さや、すべった距離を求められる（ばねにつながれて粗い面上を動く場合も含む）
前提
- 力学的エネルギー保存則 （高校物理 仕事・エネルギーと運動量）
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- 力学的エネルギー保存則 （高校物理 仕事・エネルギーと運動量）
説明
粗い面の上を物体がすべると、動摩擦力が仕事をするため、力学的エネルギーは保存されずに減っていきます。この技能では、「力学的エネルギーの変化 ＝ 動摩擦力がした仕事 （ はすべった道のり）」という関係を使います。これを使うと、粗い区間を通過した後の速さや、止まるまでにすべった距離を、運動方程式を解かずに求められます。ばねにつながれた物体が粗い面の上を動く場合にも、同じ考え方で使えます。
なぜそうしてよいのか
出発点は「運動エネルギーと仕事の関係」です。物体の運動エネルギー の変化は、物体にはたらくすべての力がした仕事の和に等しく、 と書けます。重力や弾性力のような保存力がした仕事は、位置エネルギー の減少分に等しく、 です。これを代入して移項すると となります。つまり、力学的エネルギー の変化は、保存力以外の力がした仕事に等しくなります。垂直抗力は運動の向きと垂直なので仕事をしません。そこで、保存力以外で仕事をする力が動摩擦力だけのときは、 の変化は動摩擦力の仕事そのものになります。
動摩擦力の大きさは で、向きはいつも運動の向きと逆です。そのため、 が一定の面を道のり だけすべる間に動摩擦力がする仕事は、必ず （負）になります。こうして が得られます。摩擦によって力学的エネルギーが だけ失われ、その分は熱などに変わります。摩擦がなければ右辺が になり、力学的エネルギー保存則に戻ります。
ばねにつながれた物体では、文字の役割を分けることが大切です。弾性力による位置エネルギー の は「その瞬間の、自然長からの伸び（または縮み）」で、始めと終わりの位置だけで決まります。一方、摩擦の仕事の は「実際にすべった道のりの合計」です。たとえば、伸び の位置から縮む向きに動いて、縮み の位置まで来たとき、弾性エネルギーは始め 、終わり ですが、すべった道のりは です。
手順
始めの状態と終わりの状態を決め、高さの基準を決める。ばねがあれば、ばねの自然長の位置を伸び・縮みの基準にする。
それぞれの状態の力学的エネルギー を書く。ここで はその状態での自然長からの伸び（または縮み）である。
粗い面での垂直抗力 を、面に垂直な方向の力のつり合いから求める。面に垂直な方向にはたらく力が重力と垂直抗力だけなら、水平面で 、傾き の斜面で となる。斜めに引く力やひもの張力などの面に垂直な成分があるときは、それも入れてつり合いを立てる（例：水平面で、水平から角 上向きに大きさ の力で引くなら ）。なお、そのような力が仕事をするなら、その仕事も右辺に加える。
粗い面をすべった道のり を確かめ（ばねの伸び とは別の文字で表す）、動摩擦力の仕事 を書く。往復したときは道のりの合計を使い、摩擦がない区間では とする。
を立てて、求めたい速さや距離について解く。
例題
粗い水平な床の上に質量 の小物体を置き、ばね定数 の軽いばねの一端につないだ。ばねの他端は壁に固定され、ばねは水平である。小物体を引いて、ばねを自然長から 伸ばした位置で静かにはなすと、小物体は動き出し、ばねが縮む向きにまっすぐすべって、ばねが自然長になる位置を通過した。床と小物体の間の動摩擦係数は 、重力加速度の大きさは とし、空気抵抗は無視する。ばねが自然長になる位置を通過するときの小物体の速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。
例題の解答
手順1：始めの状態を「はなした瞬間」、終わりの状態を「ばねが自然長になる位置を通過するとき」とする。床は水平なので高さは変わらず、重力による位置エネルギーは考えなくてよい。ばねの伸びは自然長を基準にする。
手順2：始めは速さ 、ばねの伸び なので
終わりは速さ 、ばねの伸び なので である。
手順3：水平な床で、鉛直方向にはたらく力は重力と垂直抗力だけ（ばねの弾性力は水平）なので、 である。
手順4：小物体は一方向にだけ進み、伸び の位置から自然長の位置まで動いたので、すべった道のりは である。動摩擦力の仕事は
手順5： より
よって で、有効数字 2 桁で となる。
答え:
よくある誤り
傾き の粗い斜面でも垂直抗力を としてしまう誤り。正しくは、斜面に垂直な方向のつり合いから で、摩擦の仕事は になる（面に垂直な成分をもつ他の力があれば、それもつり合いに入れる）。
摩擦の仕事の符号を逆にして としてしまう誤り。動摩擦力は運動と逆向きなので、正しくは で、摩擦によって力学的エネルギーは必ず減る。
物体が往復したときに、 を始めと終わりの位置の差（変位）にしてしまう誤り。動摩擦力は向きを変えながら常に運動を妨げるので、正しくは を実際にすべった道のりの合計とする。たとえば右に 進んで左に 戻ったなら、 である。
ばねの伸び とすべった道のり を同じものとしてしまう誤り。たとえば伸び から縮み まで動いたとき、弾性エネルギーの変化を としたり、道のりを としたりするのは誤り。正しくは弾性エネルギーは から に変わり、道のりは である。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
なめらかな水平面上を、質量 の小物体が右向きに速さ ですべっている。水平面の途中には、点 から点 まで長さ の粗い部分があり、点 より右は再びなめらかな水平面である。粗い部分と小物体のあいだの動摩擦係数を 、重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視する。小物体が点 を通過するときの速さは何 か。有効数字 2 桁で求めよ。
粗い面水平面とのなす角が の粗い斜面が固定されている。ただし、, である。斜面上の点 から、質量 の小物体に、斜面にそって上向きに速さ をあたえた。小物体は斜面にそって上向きにすべり、やがて一瞬止まった。小物体と斜面の間の動摩擦係数を 、重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視する。小物体が点 から止まるまでに斜面にそってすべった距離は何 m か。有効数字 2 桁で求めよ。
この技能を使う問題
水平面とのなす角が の粗い斜面が固定されている。ただし、, である。斜面上の点 に小物体を置いて静かにはなしたところ、小物体は斜面に沿ってすべり下り、 から斜面に沿って 下の点 を通過した。小物体と斜面の間の動摩擦係数を 、重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視する。小物体が を通過するときの速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。
AB, 水平な床の上を、小物体が右向きにすべっている。床は、点 から右へ点 までの長さ の区間だけが粗く、それ以外はなめらかである。小物体が を通過するときの速さは であった。 を通過するときの小物体の速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、小物体と粗い区間の床との間の動摩擦係数を 、重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視する。
PQ斜線部分が粗い区間 粗い水平な机の上に質量 の物体 を置き、 に結んだ軽くて伸びない糸を、机の右端に固定した軽い滑車にかけ、糸の他端に質量 のおもり をつるした。 と滑車の間の糸は水平、滑車と の間の糸は鉛直である。全体を静止させた状態から静かに手をはなしたところ、 は机の上をすべり、 は鉛直に下降した。 が 下降したときの の速さは何 m/s か。有効数字 2 桁で求めよ。ただし、 と机の間の動摩擦係数を 、重力加速度の大きさを とし、滑車はなめらかに回り、空気抵抗は無視する。また、この間に は滑車に達せず、 は床に達しないものとする。
AB机の上面（A の下）は粗い 粗い水平な床の上に質量 の小物体を置き、ばね定数 の軽いばねの一端をこの小物体に、他端を鉛直な壁に取りつけた。ばねは水平で、小物体はばねの伸び縮みの方向の一直線上だけを動く。小物体と床の間の動摩擦係数は 、静止摩擦係数は である。
ばねが自然の長さから だけ伸びた位置まで小物体を引き、静かに手をはなしたところ、小物体は動き出し、やがて静止した。手をはなしてから完全に静止するまでに、小物体が床の上を移動した道のりの合計を、, , , を用いて表せ。ただし、重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視する。
自然の長さ水平に張られたベルトコンベアのベルトが、モーターによって右向きに一定の速さ で動き続けている。ベルトの上面は粗く、水平である。このベルトの上に、質量 の小物体を静かに（地面に対して速度 で）置いたところ、小物体はベルトの上をすべりながら右向きに加速し、やがてベルトと同じ速さ になって、その後はベルトに対して静止したまま運ばれた。
小物体とベルトの間の動摩擦係数を 、重力加速度の大きさを とし、空気抵抗は無視する。ベルトの速さは小物体を置いたあとも に保たれ、小物体はベルトの端に達しないものとする。小物体を置いてから小物体の速さが になるまでの間に、ベルトを一定の速さで動かすためにモーターがベルトにした仕事を、, を用いて表せ。ただし、ベルトにはたらく力のうち、小物体からの摩擦力以外の力（モーターが打ち消す必要のある抵抗）は考えないものとする。
ベルトは右向きに一定の速さ で動いている
この技能の次に学べること
- 物体どうしの摩擦と一体化 （高校物理 仕事・エネルギーと運動量）