運動方程式

質量 $3.0\mathrm{kg}$ の物体に軽い糸をつけ、糸の上端を鉛直上向きに引いて、物体を鉛直上向きに大きさ $2.2m/{\mathrm{s}}^2$ の加速度で動かした。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、空気抵抗は無視する。このとき、糸が物体を引く力（張力）の大きさは何 N か。有効数字 2 桁で求めよ。

質量 $2.0\mathrm{kg}$ の物体に軽くて伸びない糸をつけ、糸を鉛直上向きに $26\mathrm{N}$ の力で引いたところ、物体は鉛直上向きに加速しながら動いた。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とし、空気抵抗は無視する。鉛直上向きを正として、物体の加速度は何 $m/{\mathrm{s}}^2$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

なめらかな水平面上に、質量 $4m$ の小物体 A、質量 $3m$ の小物体 B、質量 $4m$ の小物体 C をこの順に一直線上に並べる。A と B、B と C を、ばね定数 $k$ の軽いばねでそれぞれつないだ（$m>0$, $k>0$）。A, B, C の外側には何もつながれていない。物体はばねの方向（直線方向）にだけ動くものとし、摩擦と空気抵抗は無視する。

この系の基準振動のうち、角振動数が $0$ でないものは 2 つある。その角振動数を大きい方から ${\omega }_{+}$、小さい方を ${\omega }_{-}$ とするとき、比 $\frac{{\omega }_{+}}{{\omega }_{-}}$ を求めよ。答えは根号を用いた正確な値で答えよ。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の物体 A と質量 $2m$ の物体 B が一直線上に並んでいる。左の壁と A、A と B、B と右の壁が、それぞればね定数 $k$ の 3 本のばねでつながれている。つり合いの位置ではどのばねも自然長であり、A, B はばねの方向（一直線上）にだけ運動するものとする。

この系の 2 つの基準振動の角振動数を ${\omega }_1$, ${\omega }_2$（$0<{\omega }_1<{\omega }_2$）とするとき、比 $\frac{{\omega }_2}{{\omega }_1}$ を求めよ。答えは根号を含む最も簡単な形で表せ。

なめらかな水平面上で、質量 $m$ の物体 A と質量 $m$ の物体 B が一直線上に並んでいる。左の壁と A がばね定数 $2k$ のばねで、A と B がばね定数 $k$ のばねでつながれており、B の右側には何もつながれていない（$m>0$, $k>0$）。つり合いの位置ではどちらのばねも自然長である。物体はばねの方向（一直線上）だけを運動し、ばねの質量と空気抵抗は無視する。

この系の 2 つの基準振動の角振動数のうち、大きい方を ${\omega }_{+}$、小さい方を ${\omega }_{-}$ とする。比 $\frac{{\omega }_{+}}{{\omega }_{-}}$ を求めよ。

天井に、ばね定数 $k$ の軽いばね 1 の上端を固定し、その下端に質量 $m$ の小物体 A をつけた。さらに A の下に、ばね定数 $k$ の軽いばね 2 の上端をつけ、その下端に質量 $m$ の小物体 B をつけた（$m>0$, $k>0$）。A, B は同じ鉛直線上で、鉛直方向にだけ運動する。重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。

つり合いの位置からの A, B の変位を、鉛直下向きを正としてそれぞれ $x_1,x_2$ とする。この系の 2 つの基準振動のうち、角振動数が小さい方の基準振動では、$x_1$ と $x_2$ は $x_1=a_1\cos (\omega t+\varphi )$、$x_2=a_2\cos (\omega t+\varphi )$（$a_2\ne 0$）の形で振動する。このときの振幅の比 $\frac{a_1}{a_2}$ を求めよ。

真空中に直交座標 $(x,y,z)$ をとる。空間全体に、$z$ 軸の正の向きを向いた一様な静磁場（磁束密度の大きさ $B>0$）と、同じく $z$ 軸の正の向きを向いた一様な静電場（電場の大きさ $E>0$）がかかっている。電荷 $q>0$、質量 $m$ の粒子が、時刻 $t=0$ に原点から速度 $$\mathbf{v}(0)=(v_0,0,-u)$$ で打ち出された（$v_0>0$、$u>0$ は定数）。ただし $u$ は $0<\frac{Bu}{E}<\pi$ を満たすとする。

粒子は打ち出された後、ふたたび平面 $z=0$ を通過する。その瞬間の粒子と $z$ 軸との距離を、$m,q,B,E,v_0,u$ を用いて求めよ。

ただし、重力と放射による損失は無視し、粒子の運動は非相対論的に扱ってよい。粒子の運動方程式は $m\frac{d\mathbf{v}}{dt}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B})$ である。

鉛直面内に固定された、半径 $R$ のなめらかな円形のレールがある。質量 $m$ の小球は、このレールの内側に沿って運動できる。レールの最下点で、小球に水平向きに大きさ $v_0=\sqrt{\frac{7gR}{2}}$ の速さを与えたところ、小球はレールの内側に沿って上昇し、途中でレールから離れたのち、放物運動をした。

重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。また小球の大きさは無視でき、レールから離れたあと最高点に達するまでの間に小球はレールに触れないものとする。

レールから離れたあとの小球が達する最高点の、レールの最下点からの高さを、$R$ を用いて表せ。

なめらかで水平な床の上に、質量 $M$ の台が置かれている。台の上面は水平で、右側の側面は鉛直である。台の上面の右端には軽くてなめらかに回る滑車が取り付けてある。台の上面に質量 $m$ の物体 A を置き、A に軽くて伸びない糸をつけ、糸を水平に張って滑車にかけ、糸の他端に質量 $2m$ の物体 B をつるした。B は台の右側の側面に接している。台の左側の側面を水平右向きに一定の大きさ $F$ の力で押し続けたところ、A と B は台に対して静止したまま、全体が右向きに等加速度運動をした。$F$ を、$M$, $m$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。ただし、A と台の上面、B と台の側面の間には摩擦はなく、滑車と A の間の糸は水平、滑車と B の間の糸は鉛直であるとする。

なめらかで水平な床の上に、質量 $M$ の三角台が置かれている。三角台の斜面はなめらかで、水平面と $30^{\circ }$ の角をなし、右下がりになっている。斜面上に質量 $m$ の小物体を置き、小物体と三角台を同時に静かにはなしたところ、小物体は斜面をすべり下り、三角台は床の上を左向きにすべった。小物体が斜面上をすべっている間に、小物体が斜面から受ける垂直抗力の大きさを、$M$, $m$ と重力加速度の大きさ $g$ を用いて表せ。ただし、三角台は回転せず、床から浮き上がらないものとする。また、空気抵抗は無視する。

水平な床の上に、水平面と $30^{\circ }$ の角をなすなめらかな斜面をもつ台が固定されている。斜面の上端には軽くてなめらかに回る滑車が取り付けてある。斜面上に質量 $m$ の小物体 A を置き、A に軽くて伸びない糸をつけ、糸を斜面に平行に張って滑車にかけ、糸の他端に質量 $2m$ のおもり B をつるした。B の底面は床から高さ $h$ の位置にある。全体が静止した状態から静かに手をはなすと、A は斜面を上り、B は鉛直に下降して床に衝突し、そのまま床の上で静止した。A が手をはなした位置から斜面にそって上った距離の最大値を、$h$ を用いて表せ。ただし、A は滑車に達せず、B が床に衝突したあと糸はたるんで A に力をおよぼさないものとする。また、空気抵抗は無視する。

水平に張られたベルトコンベアのベルトが、モーターによって右向きに一定の速さ $V$ で動き続けている。ベルトの上面は粗く、水平である。このベルトの上に、質量 $m$ の小物体を静かに（地面に対して速度 $0$ で）置いたところ、小物体はベルトの上をすべりながら右向きに加速し、やがてベルトと同じ速さ $V$ になって、その後はベルトに対して静止したまま運ばれた。

小物体とベルトの間の動摩擦係数を ${\mu }^{\prime }$、重力加速度の大きさを $g$ とし、空気抵抗は無視する。ベルトの速さは小物体を置いたあとも $V$ に保たれ、小物体はベルトの端に達しないものとする。小物体を置いてから小物体の速さが $V$ になるまでの間に、ベルトを一定の速さで動かすためにモーターがベルトにした仕事を、$m$, $V$ を用いて表せ。ただし、ベルトにはたらく力のうち、小物体からの摩擦力以外の力（モーターが打ち消す必要のある抵抗）は考えないものとする。

水平面と角 $\theta$（$0<\theta <\frac{\pi }{2}$）をなすなめらかな斜面の上に台車を置く。台車の天井の一点に、長さ $L$ の軽くて伸びない糸の一端を固定し、他端に小球をつるして単振り子をつくる。

台車が斜面にそって自由にすべり下りているあいだに、台車に対して小球を、つりあいの位置から斜面の最大傾斜の方向を含む鉛直面内で小さく振動させた。台車から見たこの振り子の周期を、$L$, $g$, $\theta$ を用いて表せ。

ただし、重力加速度の大きさを $g$ とし、台車と斜面のあいだの摩擦、空気抵抗は無視する。台車の質量は小球の質量に比べて十分大きく、小球の振動は台車の運動に影響しないものとする。また、振り子の振れは十分小さく、糸は台車の天井や壁にふれないものとする。

密度 $\rho$ の静止した空気の中で、質量 $m$、直径 $d$ の球を静かに放したところ、球は鉛直下向きにまっすぐ落下した。重力加速度の大きさを $g$ とする。

球にはたらく空気の抗力の大きさは、球の速さを $v$ として
$$D=\frac{1}{2}\rho v^2{C}_{D}A,A=\frac{\pi d^2}{4}$$
で表され、抗力係数 $C_D$ は速さによらない定数とする（$A$ は球の前面投影面積）。空気の浮力と、球が加速することによるまわりの空気の影響（付加質量）は無視する。

球の速さが終端速度の $\frac{1}{2}$ になるまでに球が落下する距離を、$m,\rho ,C_D,d$ を用いて求めよ。