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プラズマ物理の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理プラズマ物理

真空中に直交座標 $(x, y, z)$ をとる。空間全体に、 $z$ 軸の正の向きを向いた一様な静磁場（磁束密度の大きさ $B > 0$ ）と、同じく $z$ 軸の正の向きを向いた一様な静電場（電場の大きさ $E > 0$ ）がかかっている。電荷 $q > 0$ 、質量 $m$ の粒子が、時刻 $t = 0$ に原点から速度 $v (0) = (v_{0}, 0, - u)$ で打ち出された（ $v_{0} > 0$ 、 $u > 0$ は定数）。ただし $u$ は $0 < \frac{B u}{E} < π$ を満たすとする。

粒子は打ち出された後、ふたたび平面 $z = 0$ を通過する。その瞬間の粒子と $z$ 軸との距離を、 $m, q, B, E, v_{0}, u$ を用いて求めよ。

ただし、重力と放射による損失は無視し、粒子の運動は非相対論的に扱ってよい。粒子の運動方程式は $m \frac{d v}{d t} = q (E + v \times B)$ である。

この問題で使うもの

ラーマー運動とサイクロトロン振動数（説明と入口の問題）
運動方程式（説明と入口の問題）
加法定理と 2 倍角・半角・積和の公式（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（56 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

電場は磁場と平行なので、運動を磁場に平行な $z$ 方向と、垂直な $x y$ 面内に分けて考えましょう。

ヒント 2

$z$ 方向は加速度 $q E / m$ の等加速度運動、 $x y$ 面内は角振動数 $ω_{c} = q B / m$ 、半径 $r_{L} = m v_{0} / (q B)$ の等速円運動です。円の中心がどこにあるかを初速度とローレンツ力の向きから決めましょう。

ヒント 3

$z = 0$ に戻る時刻は $t^{*} = 2 m u / (q E)$ です。 $x y$ 面内では原点から円周上を角度 $ω_{c} t$ だけ進んだ点までの弦の長さ $2 r_{L} ∣ sin (ω_{c} t /2) ∣$ が $z$ 軸からの距離になります。

答えと解説

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\frac{2 m v _{0}}{q B} sin \frac{B u}{E}

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解説を読む

運動方程式を成分に分ける

$E = (0, 0, E)$ 、 $B = (0, 0, B)$ なので、 $v \times B = (v_{y} B, - v_{x} B, 0)$ となり、運動方程式は
$m v ˙_{x} = q B v_{y}, m v ˙_{y} = - q B v_{x}, m v ˙_{z} = q E$
となる。電場は磁場と平行なので、 $x y$ 面内の運動には影響せず、 $z$ 方向の運動だけを等加速度運動にする。

$z$ 方向の運動

$z$ 方向は加速度 $\frac{q E}{m}$ の等加速度運動で、 $z (0) = 0$ 、 $v_{z} (0) = - u$ より
$z (t) = - u t + \frac{q E}{2 m} t^{2} .$
$z (t) = 0$ となる $t > 0$ は
$t^{*} = \frac{2 m u}{q E} .$

$x y$ 面内の運動（サイクロトロン運動）

サイクロトロン角振動数を $ω_{c} = \frac{q B}{m}$ とおくと、 $v ˙_{x} = ω_{c} v_{y}$ 、 $v ˙_{y} = - ω_{c} v_{x}$ である。 $v_{x} (0) = v_{0}$ 、 $v_{y} (0) = 0$ を満たす解は
$v_{x} = v_{0} cos ω_{c} t, v_{y} = - v_{0} sin ω_{c} t .$
これを積分し、 $x (0) = y (0) = 0$ を使うと、ラーモア半径 $r_{L} = \frac{v _{0}}{ω _{c}} = \frac{m v _{0}}{q B}$ を用いて
$x = r_{L} sin ω_{c} t, y = - r_{L} (1 - cos ω_{c} t) .$
（中心 $(0, - r_{L})$ 、半径 $r_{L}$ の円を回る。）

$z$ 軸からの距離を $ρ$ とすると
$ρ^{2} = x^{2} + y^{2} = r_{L}^{2} [sin^{2} ω_{c} t + (1 - cos ω_{c} t)^{2}] = r_{L}^{2} (2 - 2 cos ω_{c} t) = 4 r_{L}^{2} sin^{2} \frac{ω _{c} t}{2} .$
よって $ρ = 2 r_{L} sin \frac{ω _{c} t}{2}$ 。

$t = t^{*}$ での距離

$\frac{ω _{c} t ^{*}}{2} = \frac{q B}{m} \cdot \frac{m u}{q E} = \frac{B u}{E} .$
条件 $0 < \frac{B u}{E} < π$ より $sin \frac{B u}{E} > 0$ なので、絶対値をはずして
$ρ = \frac{2 m v _{0}}{q B} sin \frac{B u}{E} .$

別解

$ω = q B / m$ とおく。 $B = (0, 0, B)$ , $E = (0, 0, E)$ なので、 $v \times B = (v_{y} B, - v_{x} B, 0)$ 。運動方程式は
$v ˙_{x} = ω v_{y}, v ˙_{y} = - ω v_{x}, m v ˙_{z} = q E .$

$z$ 方向: $v_{z} = - u + \frac{q E}{m} t$ 、 $z = - u t + \frac{q E}{2 m} t^{2}$ 。 $z = 0$ となる $t > 0$ は $t_{1} = \frac{2 m u}{q E}$ （ $t = 0$ 以外の最初の通過時刻）。

$x y$ 方向: 初期条件 $v_{x} (0) = v_{0}, v_{y} (0) = 0$ より $v_{x} = v_{0} cos ω t, v_{y} = - v_{0} sin ω t$ 。積分して（原点から出発）
$x = \frac{v _{0}}{ω} sin ω t, y = \frac{v _{0}}{ω} (cos ω t - 1) .$
よって $z$ 軸からの距離は
$ρ = x^{2} + y^{2} = \frac{v _{0}}{ω} 2 - 2 cos ω t = \frac{2 v _{0}}{ω} sin \frac{ω t}{2} .$

$t = t_{1}$ で $\frac{ω t _{1}}{2} = \frac{q B}{2 m} \cdot \frac{2 m u}{q E} = \frac{B u}{E}$ 。条件 $0 < B u / E < π$ より $sin (B u / E) > 0$ なので絶対値は外れる。
$ρ = \frac{2 m v _{0}}{q B} sin \frac{B u}{E} .$

確認: $B \to 0$ の極限で $ρ \to \frac{2 m v _{0}}{q B} \cdot \frac{B u}{E} = \frac{2 m v _{0} u}{q E} = v_{0} t_{1}$ となり、磁場なしの等速運動の結果と一致する。

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