ベクトルの演算と成分

ベクトルの和・差・実数倍を図と成分で計算し、大きさを求められる

前提

三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）

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算数中学高校大学大学院

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三平方の定理（中学数学相似と三平方の定理）
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三平方の定理と平面図形（中学数学相似と三平方の定理）

説明

ベクトルとは、「向き」と「大きさ（長さ）」をあわせ持つ量で、矢印で表します。この技能では、ベクトルの和・差・実数倍を、図（矢印のつなぎ方）と成分（座標のような数の組）の両方で計算します。さらに、結果のベクトルの大きさも求めます。移動・力・速度のように「どちら向きにどれだけ」を扱う場面や、図形の問題を計算に置きかえる場面の土台になります。

なぜそうしてよいのか

点 A から点 B へ向かう矢印で表されるベクトルを $A B$ と書き、1 文字で $a$ のようにも書きます。ベクトルは向きと大きさだけで決まります。そのため、平行移動して重なる矢印は、置き場所が違っても同じベクトルです。

和 $a + b$ は「 $a$ だけ移動したあと、続けて $b$ だけ移動する」ことを表します。図では、 $a$ の終点に $b$ の始点をつなぎます。このとき、 $a$ の始点から $b$ の終点へ向かう矢印が和です。

実数倍 $k a$ は次のように決めます。
- $k > 0$ のとき： $a$ と同じ向きで、長さが $k$ 倍
- $k < 0$ のとき： $a$ と逆向きで、長さが $∣ k ∣$ 倍（ $∣ k ∣$ は $k$ の絶対値）
- $k = 0$ のとき：長さ 0 のベクトル（零ベクトル $0$ ）

差は $a - b = a + (- 1) b$ と考えます。始点をそろえて $a, b$ をかくと、 $b$ の終点から $a$ の終点へ向かう矢印が $a - b$ です。 $b$ にこの矢印をつなぐと $a$ になるからです。

座標平面では、矢印が「 $x$ 方向に $a_{1}$ 、 $y$ 方向に $a_{2}$ 進む」とき $a = (a_{1}, a_{2})$ と書き、 $a_{1}, a_{2}$ を成分といいます。零ベクトルは $(0, 0)$ です。点 $A (x_{1}, y_{1})$ から点 $B (x_{2}, y_{2})$ へ進むと、 $x$ 方向に $x_{2} - x_{1}$ 、 $y$ 方向に $y_{2} - y_{1}$ 進みます。したがって $A B = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1})$ です。

2 回の移動を続けると、 $x$ 方向の進み方どうし、 $y$ 方向の進み方どうしがそれぞれ足されます。よって $(a_{1}, a_{2}) + (b_{1}, b_{2}) = (a_{1} + b_{1}, a_{2} + b_{2})$ です。

矢印の長さを $k$ 倍にすると、矢印を斜辺とする直角三角形が相似に拡大され、 $x$ 方向・ $y$ 方向の進み方も $k$ 倍になります。 $k < 0$ なら向きが逆になり、進む方向の符号も反転します。どちらの場合も $k (a_{1}, a_{2}) = (k a_{1}, k a_{2})$ です。差も $a + (- 1) b$ なので、成分ごとの引き算になります。

ベクトルの大きさ $∣ a ∣$ は矢印の長さです。 $x$ 方向に $a_{1}$ 、 $y$ 方向に $a_{2}$ 進む矢印は、縦横の長さが $∣ a_{1} ∣, ∣ a_{2} ∣$ の直角三角形の斜辺になります。そこで三平方の定理から $∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$ となります。どちらかの成分が 0 のときも、この式で正しい長さが出ます。

手順

与えられたベクトルを成分で書き出す。点 $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ で与えられたときは $A B = (x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1})$ とする（終点から始点を引く）
実数倍を成分ごとに計算する： $k (a_{1}, a_{2}) = (k a_{1}, k a_{2})$
和・差を成分ごとに計算する： $(a_{1}, a_{2}) \pm (b_{1}, b_{2}) = (a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2})$
必要なら図で確かめる。和は矢印をつなぐ。差は始点をそろえて、引く方の終点から引かれる方の終点へ向かう矢印になる
結果のベクトル $(p, q)$ の大きさを三平方の定理で求める： $p^{2} + q^{2}$

例題

$a = (2, - 1)$ , $b = (1, - 3)$ のとき、ベクトル $3 a - 2 b$ の大きさを求めよ。

例題の解答

手順1（成分を書き出す）：成分は $a = (2, - 1)$ , $b = (1, - 3)$ と与えられている。
手順2（実数倍）： $3 a = (3 \cdot 2, 3 \cdot (- 1)) = (6, - 3)$ 、 $2 b = (2 \cdot 1, 2 \cdot (- 3)) = (2, - 6)$ 。
手順3（差）： $3 a - 2 b = (6 - 2, (- 3) - (- 6)) = (4, 3)$ 。
手順4（図で確かめる）：始点をそろえて $3 a = (6, - 3)$ と $2 b = (2, - 6)$ をかく。 $2 b$ の終点 $(2, - 6)$ から $3 a$ の終点 $(6, - 3)$ へ向かう矢印は、 $x$ 方向に 4、 $y$ 方向に 3 進むので、手順3の結果と一致する。
手順5（大きさ）： $∣3 a - 2 b ∣ = 4^{2} + 3^{2} = 25 = 5$ 。

答え: $5$

よくある誤り

和の大きさを大きさの和としてしまう誤り。例えば $a = (3, 0)$ , $b = (0, 4)$ で $∣ a + b ∣ = 3 + 4 = 7$ とするのは誤り。正しくは、先に $a + b = (3, 4)$ を求めて $∣ a + b ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$ 。
大きさを成分の和としてしまう誤り。 $∣ (1, - 2) ∣ = 1 + (- 2) = - 1$ や $1 + 2 = 3$ とするのは誤り。正しくは $∣ (1, - 2) ∣ = 1^{2} + (- 2)^{2} = 5$ 。
負の成分を引くときの符号の誤り。 $(- 3) - (- 6) = - 9$ とするのは誤り。正しくは $(- 3) - (- 6) = - 3 + 6 = 3$ 。成分の計算では、負の数にかっこを付けて書くとよい。
点から成分を出すとき、始点から終点を引いてしまう誤り。 $A (1, 2)$ , $B (4, 6)$ で $A B = (1 - 4, 2 - 6) = (- 3, - 4)$ とするのは誤り（これは $B A$ ）。正しくは終点から始点を引いて $A B = (4 - 1, 6 - 2) = (3, 4)$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

内積となす角（数学C ベクトル）
位置ベクトルと内分点・外分点（数学C ベクトル）
複素数と図形（回転・相似）（数学C 複素数平面）
行列の和・積と 2 次の逆行列（大学数学線形代数）
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