ベクトルの問題

点 $\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{OD}$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=t\overrightarrow{\mathrm{OD}}=(5t,3t,5t)$$
と表せる。

また、点 $\mathrm{Q}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ 上にあるので、実数 $s,u$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+u\overrightarrow{\mathrm{AC}}$$
と表せる。ここで
$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(3-1,1-0,0-2)=(2,1,-2),\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(0-1,2-0,1-2)=(-1,2,-1)$$
であるから
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1+2s-u,s+2u,2-2s-u)$$
となる。

2 通りの表し方の成分を比べて
$$5t=1+2s-u(1)$$
$$3t=s+2u(2)$$
$$5t=2-2s-u(3)$$

$(1)-(3)$ より $0=-1+4s$ なので $s=\frac{1}{4}$。

$(1)+(3)$ より $10t=3-2u$ なので $u=\frac{3-10t}{2}$。

これらを $(2)$ に代入すると
$$3t=\frac{1}{4}+(3-10t)$$
$$13t=\frac{13}{4}$$
よって $t=\frac{1}{4}$。このとき $u=\frac{3-\frac{5}{2}}{2}=\frac{1}{4}$ である。

したがって
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{1}{4}(5,3,5)=\left(\frac{5}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4}\right)$$

（確認）$\vec{n}=(3,4,5)$ とおくと $\vec{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=6+4-10=0$, $\vec{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-3+8-5=0$ なので、$\vec{n}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ に垂直である。$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\left(\frac{1}{4},\frac{3}{4},-\frac{3}{4}\right)$ について $\vec{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\frac{3}{4}+3-\frac{15}{4}=0$ となり、$\mathrm{Q}$ が平面 $\mathrm{ABC}$ 上にあることが確かめられる。

答え: $\mathrm{Q}\left(\frac{5}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4}\right)$

$\overrightarrow{AB}=(2,1,-2)$, $\overrightarrow{AC}=(-1,2,-1)$ である。これらの外積から、平面 ABC の法線ベクトルは $(3,4,5)$ とわかる。

$\overrightarrow{AB}\cdot (3,4,5)=6+4-10=0$, $\overrightarrow{AC}\cdot (3,4,5)=-3+8-5=0$ であり、確かに法線ベクトルになっている。

平面は A を通るので $3x+4y+5z=3\cdot 1+0+5\cdot 2=13$ である。

検算: B は $9+4+0=13$、C は $0+8+5=13$ で、ともに平面上にある。

直線 OD 上の点は $t(5,3,5)$ と表せる。平面の式に代入すると $t(15+12+25)=52t=13$ より $t=\frac{1}{4}$ である。

よって $\mathrm{Q}\left(\frac{5}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4}\right)$ となる。

検算: $3\cdot \frac{5}{4}+4\cdot \frac{3}{4}+5\cdot \frac{5}{4}=\frac{15+12+25}{4}=13$ で、平面の式を満たす。