ベクトルの問題

平面 ABC に垂直なベクトルを求める。

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(-4,2,0)$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-4,-1,3)$ である。

$\vec{n}=(a,b,c)$ が $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ の両方に垂直であるとする。

$\vec{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-4a+2b=0$ より $b=2a$ である。

$\vec{n}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-4a-b+3c=0$ に $b=2a$ を代入すると $-6a+3c=0$ となり、$c=2a$ である。

$a=1$ として $\vec{n}=(1,2,2)$ とする。

点 H を求める。

$\mathrm{OH}\perp$ 平面 $\mathrm{ABC}$ なので、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{OH}}=k\vec{n}=(k,2k,2k)$ と表せる。

$\mathrm{H}$ は平面 $\mathrm{ABC}$ 上にあるから $\overrightarrow{\mathrm{AH}}\perp \vec{n}$ である。$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=(k-4,2k-1,2k)$ なので
$$\overrightarrow{\mathrm{AH}}\cdot \vec{n}=(k-4)+2(2k-1)+2\cdot 2k=9k-6=0$$
よって $k=\frac{2}{3}$ となり、$\mathrm{H}\left(\frac{2}{3},\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)$ である。

（確認：$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-\frac{8}{3}+\frac{8}{3}+0=0$、$\overrightarrow{\mathrm{OH}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=-\frac{8}{3}-\frac{4}{3}+4=0$）

交点 Q を求める。

$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\left(-\frac{10}{3},\frac{1}{3},\frac{4}{3}\right)$ である。

$\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{AH}$ 上にあるから、実数 $r$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+r\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\left(4-\frac{10}{3}r,1+\frac{1}{3}r,\frac{4}{3}r\right)$$
と表せる。

$\mathrm{Q}$ は直線 $\mathrm{BC}$ 上にもあるから、実数 $m$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}+m\overrightarrow{\mathrm{BC}}=(0,3-3m,3m)$$
と表せる。

成分を比較する。
- $x$ 成分：$4-\frac{10}{3}r=0$ より $r=\frac{6}{5}$
- $y$ 成分：$1+\frac{1}{3}\cdot \frac{6}{5}=\frac{7}{5}=3-3m$ より $m=\frac{8}{15}$
- $z$ 成分：$\frac{4}{3}\cdot \frac{6}{5}=\frac{8}{5}$, $3m=3\cdot \frac{8}{15}=\frac{8}{5}$ で一致する

したがって $\mathrm{Q}\left(0,\frac{7}{5},\frac{8}{5}\right)$ である。

平面 ABC の法線ベクトルを求める。$\overrightarrow{AB}=(-4,2,0)$, $\overrightarrow{AC}=(-4,-1,3)$。外積は $(2\cdot 3-0\cdot (-1),0\cdot (-4)-(-4)\cdot 3,(-4)(-1)-2\cdot (-4))=(6,12,12)$ なので、法線ベクトルは $(1,2,2)$。平面の方程式は $x+2y+2z=d$。A を代入して $d=4+2=6$。B: $0+6=6$ で成立、C: $6$ で成立。よって平面は $x+2y+2z=6$。

H は O から平面への垂線の足なので $H=t(1,2,2)$ とおくと $t+4t+4t=6$ より $t=\frac{2}{3}$。よって $H=\left(\frac{2}{3},\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)$。

直線 AH 上の点: $A+s(H-A)$。$H-A=\left(-\frac{10}{3},\frac{1}{3},\frac{4}{3}\right)$、これは $(-10,1,4)$ に平行。点は $(4-10u,1+u,4u)$。

直線 BC 上の点は $x=0$ かつ $y+z=3$。$x=0$ より $u=\frac{2}{5}$。このとき $y=\frac{7}{5}$, $z=\frac{8}{5}$。$y+z=3$ で一致。

よって $Q=\left(0,\frac{7}{5},\frac{8}{5}\right)$。

検算: Q は平面 $x+2y+2z=0+\frac{14}{5}+\frac{16}{5}=6$ を満たす。BC 上にあり、$Q=\frac{8}{5}{B}^{\prime }...$ すなわち $B+\frac{8}{15}\cdot$ではなく $y+z=3$ で確認済み。