内積となす角

座標平面上の 2 つのベクトル $\vec{a}=(2,1)$, $\vec{b}=(-3,1)$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし $0\le \theta \le \pi$ とする。

座標平面上の 2 つのベクトル $\vec{a}=(2,-1)$, $\vec{b}=(-1,3)$ のなす角 $\theta$ を求めよ。ただし、$0\le \theta \le \pi$ とする。

座標平面上に 3 点 $\mathrm{A}(1,2)$, $\mathrm{B}(4,3)$, $\mathrm{C}(2,6)$ がある。$△\mathrm{ABC}$ の面積 $S$ を求めよ。

座標平面上に 3 点 $\mathrm{A}(1,1)$, $\mathrm{B}(4,2)$, $\mathrm{C}(2,5)$ がある。$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ とするとき、公式
$$S=\frac{1}{2}\sqrt{|\vec{a}{|}^2|\vec{b}{|}^2-(\vec{a}\cdot \vec{b}{)}^2}$$
を用いて、$△\mathrm{ABC}$ の面積 $S$ を求めよ。

平面上の 4 点 $$(0,1),(1,2),(2,2),(3,4)$$ に、直線 $y=a+bx$（$a,b$ は実数）を最小二乗法であてはめる。すなわち、$$S(a,b)=\sum _{i=1}^4(y_i-(a+b{x}_i){)}^2$$ を最小にする実数 $a,b$ を求める。ここで $(x_i,y_i)$ $(i=1,2,3,4)$ は上の 4 点である。

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ 1& 2\\ 1& 3\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 2\\ 4\end{array}\right),\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$$ とおくと、$S(a,b)=\Vert A\mathbf{x}-\mathbf{b}{\Vert }^2$（$\Vert \cdot \Vert$ は ${\mathbb{R}}^4$ の標準内積によるノルム）である。正規方程式 $A^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}=A^{\mathsf{T}}\mathbf{b}$ を解いて、$S(a,b)$ を最小にする $a,b$ を組 $(a,b)$ の形で答えよ。

${\mathbb{R}}^3$ に標準内積を考え、
$${\mathbf{a}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{a}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$$
とする。${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2$ の張る部分空間を $W$ とし、$\mathbf{b}$ の $W$ への直交射影を $\mathbf{p}$ とするとき、$\Vert \mathbf{b}-\mathbf{p}\Vert$ を求めよ。

$xyz$ 空間のスカラー場 $f$ とベクトル場 $\mathbf{G}$ を
$$f(x,y,z)=x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x,\mathbf{G}(x,y,z)=(yz,zx,xy)$$
で定める。ベクトル場 $f\mathbf{G}$ について、点 $(1,2,-1)$ における発散 $\mathrm{div}(f\mathbf{G})$ の値と、回転 $\mathrm{rot}(f\mathbf{G})$ の $z$ 成分の値を、この順に組で求めよ。

平面上の 2 つのベクトル $\vec{a}=(1,2)$, $\vec{b}=(3,-1)$ がある。実数 $t$ に対して
$$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{b}$$
とおく。$t>0$ であり、$\vec{p}$ と $\vec{a}$ のなす角が $\frac{\pi }{4}$ であるとき、$\vec{p}$ の成分を求めよ。答えは $\vec{p}=(x,y)$ の $x,y$ を組 $(x,y)$ の形で答えよ。

$a>0$ を定数とし、円柱面 $Z=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3:x^2+y^2=a^2\}$ を考える。$I\subset \mathbb{R}$ を開区間、$\gamma =({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3):I\to {\mathbb{R}}^3$ を弧長でパラメータ付けられた（すべての $s$ で $|{\gamma }^{\prime }(s)|=1$ の）$C^{\infty }$ 級の曲線で、すべての $s\in I$ で $\gamma (s)\in Z$ を満たすものとし、その曲率を $\kappa (s)=|{\gamma }^{\prime \prime }(s)|$ とする。

なお、$C^{\infty }$ 級の写像 $\sigma :I\to {\mathbb{R}}^2$ がすべての $s$ で $|\sigma (s)|=a$ を満たすならば、$C^{\infty }$ 級の関数 $\theta :I\to \mathbb{R}$ があって $\sigma (s)=(a\cos \theta (s),a\sin \theta (s))$ と書けることは用いてよい。

次の 2 つを証明せよ。
- すべての $s\in I$ で $\kappa (s)\ge \frac{1-{\gamma }_3^{\prime }(s{)}^2}{a}$ が成り立つ。
- この不等式の等号がすべての $s\in I$ で成り立つための必要十分条件は、${\omega }^2{a}^2+c^2=1$ を満たす実数の定数 $c,\omega$ と実数の定数 $\phi ,d$ があって、すべての $s\in I$ で
$$\gamma (s)=(a\cos (\omega s+\phi ),a\sin (\omega s+\phi ),cs+d)$$
と書けることである。

四面体 $\mathrm{OABC}$ において、$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$, $\vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ とし、
$$|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=2,|\vec{c}|=3,\vec{a}\cdot \vec{b}=2,\vec{b}\cdot \vec{c}=3,\vec{c}\cdot \vec{a}=1$$
とする。点 $\mathrm{O}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ に垂線を下ろし、平面 $\mathrm{ABC}$ との交点を $\mathrm{H}$ とする。さらに、直線 $\mathrm{AH}$ と直線 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする。
$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=x\vec{b}+y\vec{c}$$
を満たす実数 $x$, $y$ の組 $(x,y)$ を求めよ。

座標空間において、原点を $\mathrm{O}$ とし、2 点 $\mathrm{A}(1,1,1)$, $\mathrm{B}(2,0,1)$ をとる。また、3 点 $(6,0,0)$, $(0,6,0)$, $(0,0,6)$ を通る平面を $\alpha$ とする。点 $\mathrm{P}$ が平面 $\alpha$ 上を、点 $\mathrm{Q}$ が $xy$ 平面上を、それぞれ自由に動くとき、$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QB}$ の最小値を求めよ。

三角形 $\mathrm{OAB}$ において、$\mathrm{OA}=3$、$\mathrm{OB}=2$、$\angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi }{3}$ とする。辺 $\mathrm{OA}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{P}$、点 $\mathrm{A}$ から直線 $\mathrm{OB}$ に下ろした垂線と直線 $\mathrm{OB}$ との交点を $\mathrm{H}$ とする。線分 $\mathrm{AH}$ と線分 $\mathrm{BP}$ の交点を $\mathrm{R}$ とするとき、線分 $\mathrm{OR}$ の長さを求めよ。

座標平面上に原点 $\mathrm{O}$ と 3 点 $\mathrm{A}(1,5)$, $\mathrm{B}(5,3)$, $\mathrm{C}(6,-8)$ がある。点 $\mathrm{P}$ が
$$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=20$$
を満たしながら動くとき、内積 $\overrightarrow{\mathrm{PO}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PC}}$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

座標空間に原点 $\mathrm{O}$ と 3 点 $\mathrm{A}(4,1,0)$, $\mathrm{B}(0,3,0)$, $\mathrm{C}(0,0,3)$ がある。$\mathrm{O}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ に下ろした垂線と平面 $\mathrm{ABC}$ との交点を $\mathrm{H}$ とする。直線 $\mathrm{AH}$ と直線 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{Q}$ とするとき、点 $\mathrm{Q}$ の座標を求めよ。

$△\mathrm{OAB}$ において、$\mathrm{OA}=3$, $\mathrm{OB}=2$, $\angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi }{3}$ とする。線分 $\mathrm{OA}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{C}$、線分 $\mathrm{AB}$ を $3:1$ に外分する点を $\mathrm{D}$ とする。直線 $\mathrm{OD}$ と直線 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{P}$ とするとき、線分 $\mathrm{OP}$ の長さを求めよ。

座標空間に 4 点 $\mathrm{O}(0,0,0)$, $\mathrm{A}(1,1,0)$, $\mathrm{B}(0,2,2)$, $\mathrm{C}(3,0,1)$ がある。点 $\mathrm{O}$ から平面 $\mathrm{ABC}$ に垂線を下ろし、平面 $\mathrm{ABC}$ との交点を $\mathrm{H}$ とする。
$$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$
を満たす実数 $s,t,u$ の組 $(s,t,u)$ を求めよ。

$k$ を実数の定数とする。楕円 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ と直線 $y=x+k$ が異なる 2 点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ で交わるとする。原点を $\mathrm{O}$ とし、3 点 $\mathrm{O}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ が三角形をなし、かつ $\angle \mathrm{POQ}$ が鈍角となるような $k$ の値の範囲を求めよ。

座標平面上の 3 つのベクトル
$$\vec{a}=(3,1),\vec{b}=(1,-2),\vec{c}=(-2,2)$$
がある。大きさが $1$ のベクトル $\vec{e}$ をすべて考えるとき、
$$F=|\vec{a}\cdot \vec{e}|+|\vec{b}\cdot \vec{e}|+|\vec{c}\cdot \vec{e}|$$
の最大値を求めよ。

SI 単位系で、電荷も電流もない一様な一軸性結晶の中を伝わる単色の平面電磁波を考える。結晶は光を吸収せず、非磁性（透磁率は真空の透磁率 ${\mu }_0$）である。結晶の光学軸を $z$ 軸にとると、電束密度 $\mathbf{D}$ と電場 $\mathbf{E}$ は
$$D_x=4{\epsilon }_0{E}_x,D_y=4{\epsilon }_0{E}_y,D_z=9{\epsilon }_0{E}_z$$
の関係で結ばれている（${\epsilon }_0$ は真空の誘電率）。

この結晶中を、すべての場の成分が $\exp \{i(\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}-\omega t)\}$ に比例する平面波が伝わる。波数ベクトル $\mathbf{k}$ は $xz$ 平面内にあり、$z$ 軸となす角は $\theta \left(0<\theta <\frac{\pi }{2}\right)$ である。また、電場 $\mathbf{E}$ は $xz$ 平面内で振動している。

時間平均したポインティングベクトル $⟨\mathbf{S}⟩$ と波数ベクトル $\mathbf{k}$ のなす角を $\rho \left(0\leqq \rho <\frac{\pi }{2}\right)$ とする。$\theta$ を $0<\theta <\frac{\pi }{2}$ の範囲で変えたときの $\tan \rho$ の最大値を、既約分数で求めよ。

座標空間に原点 $\mathrm{O}$ と 4 点 $\mathrm{A}(4,0,0)$, $\mathrm{B}(0,4,0)$, $\mathrm{C}(0,0,2)$, $\mathrm{Q}(2,1,-1)$ がある。点 $\mathrm{P}$ が三角形 $\mathrm{ABC}$ の周および内部を動くとき、$\mathrm{OP}+\mathrm{PQ}$ の最小値を求めよ。

座標平面上に 2 つのベクトル $\vec{a}=(3,1)$, $\vec{b}=(1,2)$ がある。平面上のベクトル $\vec{p}$, $\vec{q}$ が
$$|\vec{p}|=|\vec{q}|=1,\vec{p}\cdot \vec{q}=\frac{1}{2}$$
を満たしながら動くとき、$(\vec{p}\cdot \vec{a})(\vec{q}\cdot \vec{b})$ の最大値を求めよ。

三角形 $\mathrm{OAB}$ において、$\mathrm{OA}=5$, $\mathrm{OB}=6$, $\mathrm{AB}=7$ とし、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}$, $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$ とする。三角形 $\mathrm{OAB}$ の垂心を $\mathrm{H}$、内心を $\mathrm{I}$ とする。直線 $\mathrm{HI}$ と直線 $\mathrm{AB}$ の交点を $\mathrm{X}$ とするとき、$$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=s\vec{a}+t\vec{b}$$ を満たす実数 $s,t$ を求め、$(s,t)$ の形で答えよ。

座標平面上に原点 $\mathrm{O}$ と点 $\mathrm{A}(3,4)$ がある。点 $\mathrm{P}$ は円 $x^2+y^2=4$ 上を、点 $\mathrm{Q}$ は円 $x^2+y^2=16$ 上を、それぞれ互いに無関係に動く。このとき、内積 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$ の最小値を求めよ。

四面体 $\mathrm{OABC}$ において、$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=2$, $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi }{3}$, $\angle \mathrm{COA}=\frac{\pi }{2}$ とする。点 $\mathrm{X}$ を
$$\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\frac{1}{8}\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{3}{8}\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$
で定める。辺 $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$, $\mathrm{OC}$ 上にそれぞれ $\mathrm{O}$ と異なる点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ をとる（端点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ と一致してもよい）。平面 $\mathrm{PQR}$ が点 $\mathrm{X}$ を通るように $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ を動かすとき、四面体 $\mathrm{OPQR}$ の体積の最小値を求めよ。