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ベクトルの問題

難易度 1教科書の例題レベル数学C ベクトル

座標平面上に 3 点 $A (1, 1)$ , $B (4, 2)$ , $C (2, 5)$ がある。 $a = AB$ , $b = AC$ とするとき、公式
$S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$
を用いて、 $△ ABC$ の面積 $S$ を求めよ。

A (1, 1)

B (4, 2)

C (2, 5)

x

y

O

a

b

この問題で使うもの

ベクトルの演算と成分（説明と入口の問題）
内積となす角（説明と入口の問題）
ベクトルと面積・体積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（33 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

ベクトルと面積の公式 $S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ を使います。まず $AB$ , $AC$ を成分で表しましょう。

ヒント 2

$a = (3, 1)$ , $b = (1, 4)$ から $∣ a ∣^{2}$ , $∣ b ∣^{2}$ , $a \cdot b$ を成分で計算します。

ヒント 3

$∣ a ∣^{2} = 10$ , $∣ b ∣^{2} = 17$ , $a \cdot b = 7$ です。これを公式に代入し、根号の中 $10 \times 17 - 7^{2}$ を計算しましょう。

答えと解説

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\frac{11}{2}

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解説を読む

手順 1：2 辺を表すベクトルを成分で求める。
$a = AB = (4 - 1, 2 - 1) = (3, 1), b = AC = (2 - 1, 5 - 1) = (1, 4)$

手順 2：公式に必要な 3 つの量を計算する。
$∣ a ∣^{2} = 3^{2} + 1^{2} = 10, ∣ b ∣^{2} = 1^{2} + 4^{2} = 17$
$a \cdot b = 3 \times 1 + 1 \times 4 = 7$

手順 3：公式に代入する。
$S = \frac{1}{2} 10 \times 17 - 7^{2} = \frac{1}{2} 170 - 49 = \frac{1}{2} 121 = \frac{11}{2}$

（参考）この公式は、 $a$ と $b$ のなす角を $θ$ とすると $S = \frac{1}{2} ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ$ であり、 $sin θ = 1 - cos^{2} θ$ と $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ を使って書き直したものである。

よって、 $△ ABC$ の面積は $\frac{11}{2}$ である。

別解

$a = AB = (3, 1)$ , $b = AC = (1, 4)$ 。
$∣ a ∣^{2} = 9 + 1 = 10$ , $∣ b ∣^{2} = 1 + 16 = 17$ , $a \cdot b = 3 + 4 = 7$ 。
$∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2} = 170 - 49 = 121$ 。
よって $S = \frac{1}{2} 121 = \frac{11}{2}$ 。
検算: $\frac{1}{2} ∣3 \cdot 4 - 1 \cdot 1∣ = \frac{11}{2}$ で一致する。

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