ベクトルと面積・体積

$\frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ などで三角形の面積・四面体の体積を求められる

前提

内積となす角（数学C ベクトル）

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算数中学高校大学大学院

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内積となす角（数学C ベクトル）

説明

三角形の 2 辺をベクトル $a, b$ で表すと、角度を求めなくても、大きさと内積だけで面積が出せます。面積は $S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ で、座標平面でも座標空間でも使えます。四面体の体積は、底面の三角形の面積をこの式で求めます。さらに、残りの頂点から底面へ下ろした垂線の長さ（高さ）を内積 $= 0$ の条件から求め、 $V = \frac{1}{3} S h$ で計算します。

なぜそうしてよいのか

三角形 $OAB$ で $a = OA$ , $b = OB$ とし、なす角を $θ$ $(0 < θ < π)$ とします。三角比で学んだとおり、面積は $S = \frac{1}{2} ∣ a ∣∣ b ∣ sin θ$ です。 $0 < θ < π$ では $sin θ > 0$ なので、 $sin θ = 1 - cos^{2} θ$ と書けます。代入すると $S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} cos^{2} θ$ です。ここで $∣ a ∣∣ b ∣ cos θ = a \cdot b$ を使うと、次の式が得られます。 $S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ 内積が $cos θ$ の情報を運んでくれるので、角 $θ$ そのものは求めなくてよいのです。

平面で $a = (a_{1}, a_{2})$ , $b = (b_{1}, b_{2})$ のときは、根号の中を展開します。 $(a_{1}^{2} + a_{2}^{2}) (b_{1}^{2} + b_{2}^{2}) = a_{1}^{2} b_{1}^{2} + a_{1}^{2} b_{2}^{2} + a_{2}^{2} b_{1}^{2} + a_{2}^{2} b_{2}^{2}$ 、 $(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2})^{2} = a_{1}^{2} b_{1}^{2} + 2 a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} + a_{2}^{2} b_{2}^{2}$ です。差をとると $a_{1}^{2} b_{2}^{2} - 2 a_{1} a_{2} b_{1} b_{2} + a_{2}^{2} b_{1}^{2} = (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})^{2}$ になります。 $x^{2} = ∣ x ∣$ なので $S = \frac{1}{2} ∣ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} ∣$ で、絶対値が必要です。

四面体 $PABC$ の体積は $V = \frac{1}{3} \times$ (底面 $ABC$ の面積) $\times$ (高さ) です。高さは、 $P$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線 $PH$ の長さです。 $a = AB$ , $b = AC$ は平行でないので、平面 $ABC$ 上の点 $H$ は $AH = s a + t b$ （ $s, t$ は実数）と表せます。 $PH \cdot a = 0$ かつ $PH \cdot b = 0$ が成り立てば、平面上のどのベクトル $u a + v b$ に対しても $PH \cdot (u a + v b) = u \cdot 0 + v \cdot 0 = 0$ となります。つまり $PH$ は平面に垂直です。この 2 つの条件は $s, t$ の連立 1 次方程式になるので、 $s, t$ が決まり、 $h = ∣ PH ∣$ が求まります。

手順

三角形の 1 つの頂点を選び、そこから出る 2 辺をベクトルにする。例: $a = AB$ , $b = AC$ （成分は終点 − 始点）
$∣ a ∣^{2}$ , $∣ b ∣^{2}$ , $a \cdot b$ を成分で計算する
$S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ に代入する。平面のベクトルなら $S = \frac{1}{2} ∣ a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} ∣$ でもよい（三角形だけならここで終わり）
四面体 $PABC$ では、底面 $ABC$ の面積を手順1〜3で求める。次に、垂線の足を $AH = s a + t b$ と置き、 $PH = AH - AP$ を成分で書く
連立方程式 $PH \cdot a = 0$ , $PH \cdot b = 0$ を解いて $s, t$ を求め、高さ $h = ∣ PH ∣$ を計算する
体積を $V = \frac{1}{3} S h$ で求める

例題

座標空間に 4 点 $O (0, 0, 0)$ , $A (1, 1, 0)$ , $B (0, 1, 1)$ , $C (1, 0, 1)$ がある。四面体 $OABC$ の体積を求めよ。

例題の解答

底面を三角形 $OAB$ 、頂点を $C$ とする。

手順1: 頂点 $O$ から出る 2 辺をベクトルにする。 $a = OA = (1, 1, 0)$ , $b = OB = (0, 1, 1)$ 。

手順2: $∣ a ∣^{2} = 1 + 1 + 0 = 2$ , $∣ b ∣^{2} = 0 + 1 + 1 = 2$ , $a \cdot b = 0 + 1 + 0 = 1$ 。

手順3: 底面積は $S = \frac{1}{2} 2 \cdot 2 - 1^{2} = \frac{3}{2}$ 。

手順4: 垂線の足 $H$ を $OH = s a + t b = (s, s + t, t)$ と置く。 $CH = OH - OC = (s - 1, s + t, t - 1)$ 。

手順5: $CH \cdot a = (s - 1) + (s + t) = 2 s + t - 1 = 0$ 、 $CH \cdot b = (s + t) + (t - 1) = s + 2 t - 1 = 0$ 。これを解くと $s = t = \frac{1}{3}$ である。よって $CH = (- \frac{2}{3}, \frac{2}{3}, - \frac{2}{3})$ となり、 $h = \frac{4}{9} \cdot 3 = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}$ 。

手順6: $V = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2 3}{3} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$

よって、四面体 $OABC$ の体積は $\frac{1}{3}$ である。

答え: $\frac{1}{3}$

よくある誤り

根号の中を $∣ a ∣∣ b ∣ - a \cdot b$ のように 2 乗せずに計算してしまう誤り。正しくは $∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ である。例題では $2 \cdot 2 - 1^{2} = 3$ であり、 $2 \cdot 2 - 1 = 1$ ではない。
前の $\frac{1}{2}$ を落として $∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$ を三角形の面積としてしまう誤り。この値は $a, b$ が作る平行四辺形の面積である。正しくは三角形の面積はその $\frac{1}{2}$ で、例題では $S = \frac{3}{2}$ （ $3$ ではない）。
三角形 $ABC$ の面積に、原点からの位置ベクトル $OB$ , $OC$ をそのまま使ってしまう誤り。これは三角形 $OBC$ の面積になる。正しくは $AB = OB - OA$ , $AC = OC - OA$ のように、同じ頂点 $A$ から出る辺のベクトルを作る。
四面体の体積を $V = S h$ としてしまい、 $\frac{1}{3}$ を忘れる誤り。 $S h$ は柱の体積である。正しくは $V = \frac{1}{3} S h$ で、例題では $S h = 1$ ではなく $V = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$ となる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

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