ベクトルの問題

$\vec{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$, $\vec{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$, $\vec{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$ とおく。$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ は同じ平面上になく、空間の点 $\mathrm{Y}$ は $\overrightarrow{\mathrm{OY}}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$ とただ一通りに表せる。

各点の位置ベクトル

$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{2}\vec{a},\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\frac{-1\cdot \vec{0}+3\vec{b}}{3-1}=\frac{3}{2}\vec{b},\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\frac{-1\cdot \vec{a}+2\vec{c}}{2-1}=-\vec{a}+2\vec{c}$$

平面 $\mathrm{PQX}$ 上の点の条件

点 $\mathrm{Y}$ が平面 $\mathrm{PQX}$ 上にあるのは、$\alpha +\beta +\gamma =1$ を満たす実数 $\alpha ,\beta ,\gamma$ により
$$\overrightarrow{\mathrm{OY}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OP}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OQ}}+\gamma \overrightarrow{\mathrm{OX}}=\left(\frac{\alpha }{2}-\gamma \right)\vec{a}+\frac{3\beta }{2}\vec{b}+2\gamma \vec{c}$$
と表せるときである。係数を比べて $x=\frac{\alpha }{2}-\gamma$, $y=\frac{3\beta }{2}$, $z=2\gamma$ より $\gamma =\frac{z}{2}$, $\beta =\frac{2y}{3}$, $\alpha =2x+z$。これを $\alpha +\beta +\gamma =1$ に代入すると
$$2x+\frac{2}{3}y+\frac{3}{2}z=1(1)$$
これが平面上にある条件である。$f=2x+\frac{2}{3}y+\frac{3}{2}z$ とおくと、頂点では $\mathrm{O}:f=0$, $\mathrm{A}:f=2$, $\mathrm{B}:f=\frac{2}{3}$, $\mathrm{C}:f=\frac{3}{2}$。よって平面は $\mathrm{O},\mathrm{B}$ と $\mathrm{A},\mathrm{C}$ を分け、辺 $\mathrm{OA},\mathrm{OC},\mathrm{AB},\mathrm{BC}$ と交わる（辺 $\mathrm{OB},\mathrm{AC}$ とは交わらない）。

交点の位置

• 辺 $\mathrm{OA}$：$\mathrm{P}$ （$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{2}\vec{a}$）。
• 辺 $\mathrm{OC}$：$x=y=0$ で $\frac{3}{2}z=1$ より $z=\frac{2}{3}$。交点を $\mathrm{R}$ とすると $\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{2}{3}\vec{c}$。
• 辺 $\mathrm{AB}$：$z=0$, $x+y=1$ で $2x+\frac{2}{3}(1-x)=1$ より $\frac{4}{3}x=\frac{1}{3}$, $x=\frac{1}{4}$。交点 $\mathrm{T}$：$\overrightarrow{\mathrm{OT}}=\frac{1}{4}\vec{a}+\frac{3}{4}\vec{b}$。
• 辺 $\mathrm{BC}$：$x=0$, $y+z=1$ で $\frac{2}{3}y+\frac{3}{2}(1-y)=1$ より $-\frac{5}{6}y=-\frac{1}{2}$, $y=\frac{3}{5}$。交点 $\mathrm{S}$：$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=\frac{3}{5}\vec{b}+\frac{2}{5}\vec{c}$。

体積の計算

$\mathrm{T}$ は平面 $\mathrm{OAB}$ 上かつ平面 $\mathrm{PQX}$ 上なので直線 $\mathrm{PQ}$ 上にあり、$\mathrm{S}$ は同様に直線 $\mathrm{QR}$ 上にある。実際
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+s(\overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}})=\frac{s}{2}\vec{a}+\frac{3(1-s)}{2}\vec{b}$$
で $s=\frac{1}{2}$ とすると $\overrightarrow{\mathrm{OT}}$ になるので $\mathrm{QT}:\mathrm{QP}=1:2$。また
$$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}+u(\overrightarrow{\mathrm{OR}}-\overrightarrow{\mathrm{OQ}})=\frac{3(1-u)}{2}\vec{b}+\frac{2u}{3}\vec{c}$$
で $u=\frac{3}{5}$ とすると $\overrightarrow{\mathrm{OS}}$ になるので $\mathrm{QS}:\mathrm{QR}=3:5$。さらに $\mathrm{QB}:\mathrm{QO}=\frac{1}{2}:\frac{3}{2}=1:3$。

$\mathrm{O}$ を含む立体は、四面体 $\mathrm{QOPR}$ から四面体 $\mathrm{QBTS}$ を取り除いたものである。

1 つの頂点を共有し、そこから出る 3 辺が同じ半直線上にある 2 つの四面体の体積比は 3 辺の長さの比の積に等しい（底面の三角形の面積比と高さの比の積だから）。よって
$$\text{四面体 }\mathrm{OPQR}=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}}\cdot \frac{\mathrm{OQ}}{\mathrm{OB}}\cdot \frac{\mathrm{OR}}{\mathrm{OC}}V=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{2}{3}V=\frac{1}{2}V$$
$$\text{四面体 }\mathrm{QBTS}=\frac{\mathrm{QB}}{\mathrm{QO}}\cdot \frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{QP}}\cdot \frac{\mathrm{QS}}{\mathrm{QR}}\times \frac{1}{2}V=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}V=\frac{1}{20}V$$
したがって $\mathrm{O}$ を含む立体の体積は
$$\frac{1}{2}V-\frac{1}{20}V=\frac{9}{20}V$$
よって答えは $\frac{9}{20}$ 倍である。

O を原点とし、$\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c}$ とおく。点を $s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}$ と表し、座標 $(s,t,u)$ で考える。四面体は $s,t,u\ge 0,s+t+u\le 1$ である。

$\mathrm{P}=\frac{1}{2}\vec{a}$、$\mathrm{Q}=\frac{3}{2}\vec{b}$、$\mathrm{X}=2\vec{c}-\vec{a}$ なので、$\mathrm{P}(\frac{1}{2},0,0)$、$\mathrm{Q}(0,\frac{3}{2},0)$、$\mathrm{X}(-1,0,2)$ となる。

平面を $\alpha s+\beta t+\gamma u=1$ とおくと、P から $\alpha =2$、Q から $\beta =\frac{2}{3}$、X から $-2+2\gamma =1$ より $\gamma =\frac{3}{2}$ を得る。よって平面は $f=2s+\frac{2}{3}t+\frac{3}{2}u=1$ である。

各頂点で $f$ を計算する。O で $0$、B で $\frac{2}{3}$ なので $f<1$。A で $2$、C で $\frac{3}{2}$ なので $f>1$。したがって O, B は同じ側にあり、A, C は反対側にある。

平面と各辺の交点は次のとおり。
- OA 上: $\mathrm{P}(\frac{1}{2},0,0)$
- OC 上: $\mathrm{R}(0,0,\frac{2}{3})$
- AB 上: $\mathrm{S}(\frac{1}{4},\frac{3}{4},0)$
- BC 上: $\mathrm{T}(0,\frac{3}{5},\frac{2}{5})$

O を含む立体の頂点は O, B, P, R, S, T である。B を頂点として、B を含まない面で分割する。B を含まない面は三角形 OPR と切り口の四角形 PSTR である。

基準の体積は四面体 OABC が $\frac{1}{6}$（単位体積）である。B を原点にとったベクトルは $\mathrm{P}-\mathrm{B}=(\frac{1}{2},-1,0)$、$\mathrm{S}-\mathrm{B}=(\frac{1}{4},-\frac{1}{4},0)$、$\mathrm{T}-\mathrm{B}=(0,-\frac{2}{5},\frac{2}{5})$、$\mathrm{R}-\mathrm{B}=(0,-1,\frac{2}{3})$ である。

• 四面体 BOPR: $\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot 1=\frac{1}{18}$
• 四面体 BPST: 行列式 $\frac{2}{5}(\frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{4})+\frac{1}{4})=\frac{1}{20}$ より $\frac{1}{120}$
• 四面体 BPTR: 行列式 $\frac{1}{2}(-\frac{4}{15}+\frac{6}{15})=\frac{1}{15}$ より $\frac{1}{90}$

合計は $\frac{1}{18}+\frac{1}{120}+\frac{1}{90}=\frac{20+3+4}{360}=\frac{3}{40}$ である。

比は $\frac{3}{40}÷\frac{1}{6}=\frac{9}{20}$ となる。

検算: もう一方の立体は $\frac{11}{20}V$ となり、和は $V$ で矛盾しない。