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ベクトル

扱うテーマ: 平面ベクトルの成分・内積、内分点・外分点と位置ベクトル、交点の位置ベクトル、空間ベクトル（成分・内積・平面との交点）、ベクトルと図形の面積・体積

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

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難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上の 2 つのベクトル $a = (3, - 2)$ , $b = (1, 8)$ がある。ベクトル $2 a - b$ の大きさ $∣2 a - b ∣$ を求めよ。
$x$ $y$ $O$ $a$ $b$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$a = (2, 1)$ , $b = (1, - 2)$ とする。ベクトル $2 a - b$ の大きさ $∣2 a - b ∣$ を求めよ。
$O$ $x$ $y$ $a$ $b$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上の 2 つのベクトル $a = (2, 1)$ , $b = (- 3, 1)$ のなす角 $θ$ を求めよ。ただし $0 \leq θ \leq π$ とする。
$x$ $y$ $O$ $a$ $b$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上の 2 つのベクトル $a = (2, - 1)$ , $b = (- 1, 3)$ のなす角 $θ$ を求めよ。ただし、 $0 \leq θ \leq π$ とする。
$x$ $y$ $O$ $a$ $b$ $θ$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に 2 点 $A (- 1, 4)$ , $B (5, 1)$ がある。線分 $AB$ を $2 : 1$ に外分する点 $P$ の座標を求めよ。
$A (- 1, 4)$ $B (5, 1)$ $x$ $y$ $O$
点 P は図にかいていない
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に $2$ 点 $A (1, 4)$ , $B (3, 2)$ がある。原点 $O$ に関する位置ベクトルを用いて、線分 $AB$ を $3 : 1$ に外分する点 $Q$ の座標を求めよ。
$A (1, 4)$ $B (3, 2)$ $x$ $y$ $O$
難易度 1（教科書の例題レベル）
平行四辺形 $ABCD$ において、 $AB = b$ 、 $AD = d$ とする。辺 $BC$ を $2 : 1$ に内分する点を $E$ とし、線分 $AE$ と対角線 $BD$ の交点を $P$ とする。 $AP = s b + t d$ と表すとき、実数の組 $(s, t)$ を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $P$ $b$ $d$
難易度 1（教科書の例題レベル）
平行四辺形 $ABCD$ において、 $AB = b$ , $AD = d$ とする。辺 $BC$ を $1 : 2$ に内分する点を $E$ とし、線分 $AE$ と対角線 $BD$ の交点を $P$ とする。 $AP = s b + t d$ と表すとき、実数 $s$ , $t$ の値をこの順に求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $P$ $b$ $d$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標空間に原点 $O$ と 4 点 $A (4, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ , $C (0, 0, 4)$ , $D (1, 2, 3)$ がある。直線 $OD$ と平面 $ABC$ の交点を $P$ とするとき、点 $P$ の座標を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $D$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標空間に原点 $O$ と 3 点 $A (4, 0, 0)$ , $B (0, 2, 0)$ , $C (0, 0, 4)$ がある。さらに 2 点 $D (- 1, 0, 0)$ , $E (5, 3, 3)$ をとる。直線 $DE$ と平面 $ABC$ の交点を $P$ とするとき、点 $P$ の座標を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $x$ $y$ $z$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に 3 点 $A (1, 2)$ , $B (4, 3)$ , $C (2, 6)$ がある。 $△ ABC$ の面積 $S$ を求めよ。
$A (1, 2)$ $B (4, 3)$ $C (2, 6)$ $x$ $y$ $O$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上に 3 点 $A (1, 1)$ , $B (4, 2)$ , $C (2, 5)$ がある。 $a = AB$ , $b = AC$ とするとき、公式
$S = \frac{1}{2} ∣ a ∣^{2} ∣ b ∣^{2} - (a \cdot b)^{2}$
を用いて、 $△ ABC$ の面積 $S$ を求めよ。
$A (1, 1)$ $B (4, 2)$ $C (2, 5)$ $x$ $y$ $O$ $a$ $b$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = b$ 、 $AC = c$ とする。辺 $AB$ の中点を $D$ 、辺 $AC$ を $2 : 1$ に内分する点を $E$ とし、線分 $BE$ と線分 $CD$ の交点を $P$ とする。 $AP = x b + y c$ と表すとき、実数 $x$ , $y$ の組 $(x, y)$ を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $P$
AE:EC = 2:1
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ において、 $AB = b$ 、 $AC = c$ とする。辺 $BC$ を $1 : 2$ に内分する点を $D$ 、辺 $AC$ の中点を $E$ とし、線分 $AD$ と線分 $BE$ の交点を $P$ とする。 $AP = s b + t c$ （ $s$ , $t$ は実数）と表すとき、 $s$ , $t$ の値を求め、組 $(s, t)$ の形で答えよ。
$A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $P$ $1$ $2$
難易度 1（教科書の例題レベル）
台形 $ABCD$ において、 $BC = \frac{1}{2} AD$ が成り立っている。 $AB = b$ 、 $AD = d$ とし、対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $P$ とする。 $AP = x b + y d$ と表すとき、実数 $x, y$ の値を組 $(x, y)$ の形でこの順に求めよ。
$A$ $D$ $B$ $C$ $P$ $b$ $d$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標空間に原点 $O$ と 5 点 $A (6, 0, 0)$ , $B (0, 3, 0)$ , $C (0, 0, 2)$ , $D (3, 1, 2)$ , $E (- 1, 1, 0)$ がある。直線 $DE$ と平面 $ABC$ の交点を $P$ とするとき、点 $P$ の座標を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $D$ $E$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標空間に原点 $O$ と 5 点 $A (2, 0, 0)$ , $B (0, 3, 0)$ , $C (0, 0, 6)$ , $D (1, 2, 3)$ , $E (- 1, 0, 1)$ がある。直線 $DE$ と平面 $ABC$ の交点を $P$ とするとき、点 $P$ の座標を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $x$ $y$ $z$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標空間に 3 点 $A (1, 2, 0)$ , $B (3, 1, 2)$ , $C (2, 4, 1)$ がある。 $△ ABC$ の面積を求めよ。
O $x$ $y$ $z$ $A (1, 2, 0)$ $B (3, 1, 2)$ $C (2, 4, 1)$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
$O$ を原点とする座標空間に 3 点 $A (1, 0, 1)$ , $B (2, 1, 1)$ , $C (1, 2, 3)$ がある。 $△ ABC$ の面積 $S$ を求めよ。
$O$ $A (1, 0, 1)$ $B (2, 1, 1)$ $C (1, 2, 3)$ $x$ $y$ $z$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標空間に 3 点 $A (1, 1, 0)$ , $B (2, 3, 1)$ , $C (3, 1, 2)$ がある。 $△ ABC$ の面積 $S$ を求めよ。
$A (1, 1, 0)$ $B (2, 3, 1)$ $C (3, 1, 2)$ $x$ $y$ $z$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
平面上の 2 つのベクトル $a$ , $b$ が
$∣ a ∣ = 2, ∣ b ∣ = 3, a \cdot b = - 2$
を満たしている。このとき、 $∣3 a + b ∣$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
平面上の 2 つのベクトル $a$ , $b$ が
$∣ a ∣ = 3, ∣ b ∣ = 2, a \cdot b = - 2$
を満たしている。このとき、 $∣ a + 2 b ∣$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
平面上の 2 つのベクトル $a$ , $b$ が
$∣ a ∣ = 3, ∣ b ∣ = 2, a \cdot b = - 1$
を満たしている。このとき、 $∣ a + 2 b ∣$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ の面積は $12$ である。点 $P$ が
$2 PA + 3 PB + PC = 0$
を満たすとき、 $△ PAB$ の面積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $P$
斜線部分が $△ PAB$ （図は正確とは限りません）
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ の面積は $30$ である。点 $P$ が
$2 PA + 3 PB + PC = 0$
を満たすとき、 $△ PCA$ の面積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ P
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
$△ ABC$ の面積は $27$ である。点 $P$ が
$2 PA + 3 PB + 4 PC = 0$
を満たすとき、 $△ PCA$ の面積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $P$
色をつけた部分が $△ PCA$
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標空間に原点 $O$ 、点 $A (0, 2, 1)$ と平面 $α : 2 x + y + 2 z = 9$ がある。点 $P$ が平面 $α$ 上を動くとき、 $OP + PA$ の最小値を求めよ。
$O$ $A$ $P$ $x$ $y$ $z$ $α$
点 P の位置は一例。平面 $α$ は座標軸との交点を結んだ三角形の部分を示している
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標空間に原点 $O$ と 4 点 $A (2, 0, 0)$ , $B (0, 4, 0)$ , $C (0, 0, 4)$ , $Q (- 1, 2, 1)$ がある。点 $P$ が三角形 $ABC$ の周および内部を動くとき、 $OP + PQ$ の最小値を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $Q$ $P$
点 P の位置は一例
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標空間に原点 $O$ と 4 点 $A (3, 0, 0)$ , $B (0, 3, 0)$ , $C (0, 0, 3)$ , $Q (1, 1, 0)$ がある。点 $P$ が三角形 $ABC$ の周および内部を動くとき、 $OP + PQ$ の最小値を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $Q$ $P$
点 P の位置は一例
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上にベクトル $a = (2, 1)$ がある。平面上のベクトル $p$ , $q$ が
$∣ p ∣ = ∣ q ∣ = 1, p \cdot q = \frac{1}{2}$
を満たしながら動くとき、 $a \cdot p + a \cdot q$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。
O $x$ $y$ $a$ $p$ $q$
$p$ , $q$ の一例（破線は単位円）
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上にベクトル $a = (1, 0)$ がある。平面上のベクトル $p$ , $q$ が
$∣ p ∣ = ∣ q ∣ = 1, p \cdot q = \frac{1}{2}$
を満たしながら動くとき、
$F = 2 a \cdot p + a \cdot q$
の最大値と最小値をこの順に求めよ。
$x$ $y$ $O$ $p$ $q$ $a$
$p$ , $q$ の位置の一例（破線は単位円）
難易度 1（教科書の例題レベル）
座標平面上で、ベクトル $a = (0, 2)$ が与えられている。平面上のベクトル $p$ , $q$ が
$∣ p ∣ = ∣ q ∣ = 1, p \cdot q = \frac{1}{2}$
を満たしながら動くとき、 $a \cdot p + a \cdot q$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。
$x$ $y$ $O$ $p$ $q$ $a$
$p$ , $q$ の一例（破線は単位円）
難易度 1（教科書の例題レベル）
$∣ a ∣ = 2$ , $∣ b ∣ = 1$ で、 $a$ と $b$ のなす角が $12 0^{\circ}$ であるとする。 $t$ が実数全体を動くとき、 $∣ a + t b ∣$ を最小にする $t$ の値と、そのときの $∣ a + t b ∣$ の最小値を、この順に組 $(t, 最小値)$ の形で求めよ。
$a$ $b$ $12 0^{\circ}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
平面上のベクトル $a$ , $b$ が $∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 2$ , $a \cdot b = - 3$ を満たしている。実数 $t$ が実数全体を動くとき、 $∣ a + t b ∣$ を最小にする $t$ の値と、そのときの $∣ a + t b ∣$ の最小値を、この順に組 $(t, 最小値)$ の形で求めよ。
$O$ $a$ $b$
$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 2$ , $a \cdot b = - 3$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 2$ , $a \cdot b = - 3$ とする。 $t$ が実数全体を動くとき、 $∣ a + t b ∣$ を最小にする $t$ の値と、 $∣ a + t b ∣$ の最小値を、この順に組 $(t, 最小値)$ の形で求めよ。
$a$ $b$
$∣ a ∣ = 3$ , $∣ b ∣ = 2$ のベクトル
難易度 1（教科書の例題レベル）
三角形 $OAB$ において、 $OA = a$ 、 $OB = b$ とし、 $∣ a ∣ = 5$ 、 $∣ b ∣ = 4$ 、 $a \cdot b = 6$ とする。点 $A$ から直線 $OB$ に下ろした垂線の足を $H$ とするとき、 $OH = k b$ を満たす実数 $k$ の値を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $H$ $5$ $4$
難易度 1（教科書の例題レベル）
三角形 $OAB$ において、 $OA = a$ 、 $OB = b$ とし、 $∣ a ∣ = 3$ 、 $∣ b ∣ = 4$ 、 $a \cdot b = 6$ とする。点 $A$ から直線 $OB$ に垂線を下ろし、その垂線と直線 $OB$ の交点を $H$ とする。 $OH = k b$ を満たす実数 $k$ の値を求めよ。
$O$ $B$ $A$ $H$ $3$ $4$
図は正確とは限りません
難易度 1（教科書の例題レベル）
三角形 $OAB$ において、 $OA = a$ 、 $OB = b$ とし、 $∣ a ∣ = 3$ 、 $∣ b ∣ = 4$ 、 $a \cdot b = 5$ とする。点 $A$ から直線 $OB$ に下ろした垂線の足を $H$ とするとき、 $OH = k b$ を満たす実数 $k$ の値を求めよ。
$O$ $B$ $A$ $H$ $3$ $4$
図は正確とは限りません
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
三角形 $ABC$ において、 $AB = 5$ , $AC = 4$ , $AB \cdot AC = 10$ とする。点 $P$ が
$3 PA + 2 PB + PC = 0$
を満たすとき、三角形 $PBC$ の面積を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$a = (3, - 1)$ , $b = (1, 2)$ とする。実数 $t$ を動かすとき、 $∣ a + t b ∣$ を最小にする $t$ の値と、そのときの $∣ a + t b ∣$ の最小値を、この順に組 $(t, 最小値)$ の形で求めよ。
$x$ $y$ $O$ $a$ $b$
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$△ OAB$ において、 $OA = a$ 、 $OB = b$ とする。線分 $OA$ を $3 : 2$ に内分する点を $P$ 、線分 $OB$ を $3 : 1$ に外分する点を $Q$ とし、直線 $PQ$ と直線 $AB$ の交点を $R$ とする。 $OR = s a + t b$ を満たす実数 $s, t$ を求め、組 $(s, t)$ の形で答えよ。
$O$ $A$ $B$ $P$ $Q$ $R$ $a$ $b$
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
座標空間に原点 $O$ と 3 点 $A (2, 0, 0)$ , $B (0, 4, 0)$ , $C (0, 0, 4)$ がある。 $O$ から平面 $ABC$ に垂線を下ろし、その垂線と平面 $ABC$ との交点を $H$ とする。点 $H$ の座標を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $H$ $x$ $y$ $z$
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$a = (3, - 1)$ , $b = (1, 2)$ とする。 $t$ が実数全体を動くとき、 $∣ a + t b ∣$ の最小値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
三角形 $OAB$ において、 $OA = a$ 、 $OB = b$ とする。辺 $OA$ を $2 : 1$ に内分する点を $P$ 、辺 $AB$ を $3 : 1$ に外分する点を $Q$ 、辺 $OB$ の中点を $N$ とする。直線 $PQ$ と直線 $AN$ の交点を $X$ とするとき、 $OX = s a + t b$ を満たす実数 $s, t$ を求め、組 $(s, t)$ の形で答えよ。
$O$ $A$ $B$ $P$ $Q$ $N$ $X$ $a$ $b$
難易度 3（共通テストレベル）
三角形 $OAB$ において、 $OA = a$ 、 $OB = b$ とする。辺 $OA$ を $3 : 1$ に内分する点を $C$ 、辺 $AB$ を $2 : 3$ に内分する点を $D$ とし、線分 $OD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。 $OP = s a + t b$ を満たす実数 $s, t$ の組 $(s, t)$ を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $D$ $P$ $a$ $b$
難易度 3（共通テストレベル）
座標空間において、原点を $O$ とし、3 点 $A (1, 0, 2)$ , $B (3, 1, 0)$ , $C (0, 2, 1)$ と点 $D (5, 3, 5)$ をとる。直線 $OD$ と、3 点 $A$ , $B$ , $C$ を通る平面との交点を $Q$ とする。点 $Q$ の座標を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $D$ $Q$ $x$ $y$ $z$
難易度 3（共通テストレベル）
三角形 $OAB$ において、 $OA = a$ , $OB = b$ とする。辺 $OB$ を $3 : 1$ に内分する点を $E$ 、辺 $AB$ を $2 : 3$ に内分する点を $F$ とし、線分 $AE$ と線分 $OF$ の交点を $P$ とする。 $OP = s a + t b$ （ $s$ , $t$ は実数）と表すとき、 $s$ , $t$ の値をこの順に組 $(s, t)$ で求めよ。
$O$ $A$ $B$ $E$ $F$ $P$ $a$ $b$
難易度 3（共通テストレベル）
三角形 $OAB$ において、 $∣ OA ∣ = 2$ , $∣ OB ∣ = 3$ , $OA \cdot OB = 2$ である。点 $P$ が
$2 PO + 3 PA + 4 PB = 0$
を満たすとき、三角形 $PAB$ の面積を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
平面上の 2 つのベクトル $a = (1, 2)$ , $b = (3, - 1)$ がある。実数 $t$ に対して
$p = a + t b$
とおく。 $t > 0$ であり、 $p$ と $a$ のなす角が $\frac{π}{4}$ であるとき、 $p$ の成分を求めよ。答えは $p = (x, y)$ の $x, y$ を組 $(x, y)$ の形で答えよ。
$x$ $y$ $O$ $a$ $b$ $(1, 2)$ $(3, - 1)$
難易度 3（共通テストレベル）
$△ OAB$ において、 $OA = a$ , $OB = b$ とする。辺 $OA$ を $3 : 1$ に内分する点を $C$ 、辺 $OB$ を $2 : 1$ に内分する点を $D$ とし、線分 $AD$ と線分 $BC$ の交点を $P$ とする。さらに、直線 $OP$ と辺 $AB$ の交点を $Q$ とする。 $OQ = s a + t b$ と表すとき、実数の組 $(s, t)$ を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $D$ $P$ $Q$ $a$ $b$
難易度 3（共通テストレベル）
四面体 $OABC$ において、 $a = OA$ , $b = OB$ , $c = OC$ とし、
$∣ a ∣ = 2, ∣ b ∣ = 2, ∣ c ∣ = 3, a \cdot b = 2, b \cdot c = 3, c \cdot a = 1$
とする。点 $O$ から平面 $ABC$ に垂線を下ろし、平面 $ABC$ との交点を $H$ とする。さらに、直線 $AH$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とする。
$OD = x b + y c$
を満たす実数 $x$ , $y$ の組 $(x, y)$ を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $H$ $D$
図は正確とは限りません
難易度 3（共通テストレベル）
$△ ABC$ において、辺 $BC$ , $CA$ , $AB$ をそれぞれ $t : (1 - t)$ に内分する点を $P$ , $Q$ , $R$ とする。ただし、 $t$ は $0 < t < \frac{1}{2}$ を満たす実数とする。3 本の線分 $AP$ , $BQ$ , $CR$ のうち 2 本ずつの交点を頂点とする三角形の面積が、 $△ PQR$ の面積のちょうど $\frac{1}{2}$ であるとき、 $t$ の値を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $P$ $Q$ $R$
図は正確とは限りません
難易度 3（共通テストレベル）
座標空間において、原点を $O$ とし、2 点 $A (1, 1, 1)$ , $B (2, 0, 1)$ をとる。また、3 点 $(6, 0, 0)$ , $(0, 6, 0)$ , $(0, 0, 6)$ を通る平面を $α$ とする。点 $P$ が平面 $α$ 上を、点 $Q$ が $x y$ 平面上を、それぞれ自由に動くとき、 $AP + PQ + QB$ の最小値を求めよ。
O $A$ $B$ $P$ $Q$ $x$ $y$ $z$ $α$ $6$ $6$ $6$
P, Q の位置は一例
難易度 3（共通テストレベル）
四面体 $ABCD$ の 4 つの面は、どれも 3 辺の長さが $5$ , $6$ , $7$ の三角形である。この四面体の体積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $D$
図は正確とは限りません
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
三角形 $OAB$ において、 $OA = 3$ 、 $OB = 2$ 、 $∠ AOB = \frac{π}{3}$ とする。辺 $OA$ を $2 : 1$ に内分する点を $P$ 、点 $A$ から直線 $OB$ に下ろした垂線と直線 $OB$ との交点を $H$ とする。線分 $AH$ と線分 $BP$ の交点を $R$ とするとき、線分 $OR$ の長さを求めよ。
$O$ $A$ $B$ $P$ $H$ $R$ $3$ $2$ $\frac{π}{3}$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
四面体 $OABC$ において、 $OA = 1$ , $OB = 2$ , $OC = 3$ , $∠ AOB = ∠ BOC = ∠ COA = \frac{π}{3}$ とする。点 $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線と平面 $ABC$ との交点を $H$ とする。四面体 $OHAB$ の体積を求めよ。
$A$ $B$ $C$ $H$ $O$ $1$ $2$ $3$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上に原点 $O$ と 3 点 $A (1, 5)$ , $B (5, 3)$ , $C (6, - 8)$ がある。点 $P$ が
$PA \cdot PB = 20$
を満たしながら動くとき、内積 $PO \cdot PC$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。
$A (1, 5)$ $B (5, 3)$ $C (6, - 8)$ $P$ $x$ $y$ $O$
点 $P$ の位置は一例
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$△ OAB$ において、 $a = OA$ , $b = OB$ とする。辺 $OA$ を $3 : 2$ に内分する点を $C$ 、線分 $AB$ を $3 : 1$ に外分する点を $D$ とする。直線 $CD$ と辺 $OB$ の交点を $E$ とし、線分 $AE$ と線分 $BC$ の交点を $Q$ とする。 $OQ = s a + t b$ （ $s, t$ は実数）と表すとき、組 $(s, t)$ を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $D$ $E$ $Q$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標空間に原点 $O$ と 3 点 $A (4, 1, 0)$ , $B (0, 3, 0)$ , $C (0, 0, 3)$ がある。 $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線と平面 $ABC$ との交点を $H$ とする。直線 $AH$ と直線 $BC$ の交点を $Q$ とするとき、点 $Q$ の座標を求めよ。
$O$ $A (4, 1, 0)$ $B (0, 3, 0)$ $C (0, 0, 3)$ $H$ $Q$ $x$ $y$ $z$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$△ OAB$ において、 $OA = 3$ , $OB = 2$ , $∠ AOB = \frac{π}{3}$ とする。線分 $OA$ を $2 : 1$ に内分する点を $C$ 、線分 $AB$ を $3 : 1$ に外分する点を $D$ とする。直線 $OD$ と直線 $BC$ の交点を $P$ とするとき、線分 $OP$ の長さを求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $D$ $P$ $3$ $2$ $\frac{π}{3}$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標空間に 4 点 $O (0, 0, 0)$ , $A (1, 1, 0)$ , $B (0, 2, 2)$ , $C (3, 0, 1)$ がある。点 $O$ から平面 $ABC$ に垂線を下ろし、平面 $ABC$ との交点を $H$ とする。
$OH = s OA + t OB + u OC$
を満たす実数 $s, t, u$ の組 $(s, t, u)$ を求めよ。
$O$ $A (1, 1, 0)$ $B (0, 2, 2)$ $C (3, 0, 1)$ $H$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
座標平面上の 3 つのベクトル
$a = (3, 1), b = (1, - 2), c = (- 2, 2)$
がある。大きさが $1$ のベクトル $e$ をすべて考えるとき、
$F = ∣ a \cdot e ∣ + ∣ b \cdot e ∣ + ∣ c \cdot e ∣$
の最大値を求めよ。
$x$ $y$ $O$ $a$ $b$ $c$
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
座標空間に原点 $O$ と 4 点 $A (4, 0, 0)$ , $B (0, 4, 0)$ , $C (0, 0, 2)$ , $Q (2, 1, - 1)$ がある。点 $P$ が三角形 $ABC$ の周および内部を動くとき、 $OP + PQ$ の最小値を求めよ。
$O$ $A (4, 0, 0)$ $B (0, 4, 0)$ $C (0, 0, 2)$ $Q (2, 1, - 1)$ $P$ $x$ $y$ $z$
点 $P$ の位置は一例
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
座標平面上に 2 つのベクトル $a = (3, 1)$ , $b = (1, 2)$ がある。平面上のベクトル $p$ , $q$ が
$∣ p ∣ = ∣ q ∣ = 1, p \cdot q = \frac{1}{2}$
を満たしながら動くとき、 $(p \cdot a) (q \cdot b)$ の最大値を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
三角形 $OAB$ において、 $OA = 5$ , $OB = 6$ , $AB = 7$ とし、 $OA = a$ , $OB = b$ とする。三角形 $OAB$ の垂心を $H$ 、内心を $I$ とする。直線 $HI$ と直線 $AB$ の交点を $X$ とするとき、 $OX = s a + t b$ を満たす実数 $s, t$ を求め、 $(s, t)$ の形で答えよ。
$O$ $A$ $B$ $H$ $I$ $X$ 567
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
四面体 $OABC$ の体積を $V$ とする。辺 $OA$ の中点を $P$ 、線分 $OB$ を $3 : 1$ に外分する点を $Q$ 、線分 $AC$ を $2 : 1$ に外分する点を $X$ とする。3 点 $P$ , $Q$ , $X$ を通る平面で四面体 $OABC$ を 2 つの立体に切り分けるとき、頂点 $O$ を含む方の立体の体積は $V$ の何倍か。
$O$ $A$ $B$ $C$ $P$ $Q$ $X$
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
座標空間において、平面 $α : x + 2 y + 2 z = 12$ と $x y$ 平面を鏡とみなす。点 $S (1, 0, 1)$ から出た光が、まず平面 $α$ 上の点 $P$ で反射し、次に $x y$ 平面上の点 $Q$ で反射して、点 $T (1, 3, 2)$ に到達した。点 $Q$ の座標を求めよ。
ただし、光は直進するものとする。また、点 $X$ から来た光が平面 $π$ 上の点 $R$ で反射するとき、反射後の光は、 $X$ の $π$ に関する対称点を $X^{'}$ として、直線 $X^{'} R$ 上を $R$ から見て $X^{'}$ と反対の向きに進むものとする。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
座標平面上に原点 $O$ と点 $A (3, 4)$ がある。点 $P$ は円 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上を、点 $Q$ は円 $x^{2} + y^{2} = 16$ 上を、それぞれ互いに無関係に動く。このとき、内積 $AP \cdot AQ$ の最小値を求めよ。
$O$ $A (3, 4)$ $P$ $Q$ $x$ $y$
$P, Q$ の位置の一例
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
四面体 $OABC$ において、辺 $OA$ を $1 : 2$ に内分する点を $L$ 、辺 $OB$ の中点を $M$ 、 $△ ABC$ の重心を $G$ とする。3 点 $L$ , $M$ , $G$ を通る平面を $α$ とする。四面体 $OABC$ は平面 $α$ によって 2 つの立体に分けられる。このうち頂点 $O$ を含む方の立体の体積は、四面体 $OABC$ の体積の何倍か。
$O$ $A$ $B$ $C$ $L$ $M$ $G$
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
1 辺の長さが $3$ の正四面体 $OABC$ がある。点 $X$ を
$OX = \frac{1}{6} OA + \frac{1}{6} OB + \frac{1}{2} OC$
で定める。3 点 $P$ , $Q$ , $R$ はそれぞれ線分 $OA$ , $OB$ , $OC$ 上の点で、いずれも $O$ とは異なる（ $A$ , $B$ , $C$ と一致してもよい）。さらに、点 $X$ は平面 $PQR$ 上にある。このとき、四面体 $OPQR$ の体積の最小値を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $P$ $Q$ $R$ $X$
P, Q, R の位置の一例
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
四面体 $OABC$ がある。辺 $OA$ を $2 : 1$ に内分する点を $P$ 、線分 $OB$ を $2 : 1$ に外分する点を $Q$ 、辺 $OC$ を $1 : 2$ に内分する点を $R$ とする。3 点 $P, Q, R$ を通る平面で四面体 $OABC$ を 2 つの部分に切り分けるとき、頂点 $O$ を含む側の部分の体積は、四面体 $OABC$ の体積の何倍か。
$O$ $A$ $B$ $C$ $P$ $Q$ $R$
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
四面体 $OABC$ において、 $OA = OB = OC = 2$ , $∠ AOB = ∠ BOC = \frac{π}{3}$ , $∠ COA = \frac{π}{2}$ とする。点 $X$ を
$OX = \frac{1}{8} OA + \frac{1}{4} OB + \frac{3}{8} OC$
で定める。辺 $OA$ , $OB$ , $OC$ 上にそれぞれ $O$ と異なる点 $P$ , $Q$ , $R$ をとる（端点 $A$ , $B$ , $C$ と一致してもよい）。平面 $PQR$ が点 $X$ を通るように $P$ , $Q$ , $R$ を動かすとき、四面体 $OPQR$ の体積の最小値を求めよ。
$O$ $A$ $B$ $C$ $X$ $P$ $Q$ $R$
P, Q, R の位置の一例（図は正確とは限りません）