ベクトルの問題

まず各点の位置ベクトルを求める。点 $\mathrm{E}$ は辺 $\mathrm{OB}$ を $3:1$ に内分するので
$$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=\frac{3}{4}\vec{b}$$
点 $\mathrm{F}$ は辺 $\mathrm{AB}$ を $2:3$ に内分するので
$$\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{3\vec{a}+2\vec{b}}{2+3}=\frac{3}{5}\vec{a}+\frac{2}{5}\vec{b}$$

点 $\mathrm{P}$ は直線 $\mathrm{OF}$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\overrightarrow{\mathrm{OF}}=\frac{3k}{5}\vec{a}+\frac{2k}{5}\vec{b}(1)$$
と表せる。

また、点 $\mathrm{P}$ は直線 $\mathrm{AE}$ 上にあるので、実数 $u$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-u)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+u\overrightarrow{\mathrm{OE}}=(1-u)\vec{a}+\frac{3u}{4}\vec{b}(2)$$
と表せる。

$\vec{a}\ne \vec{0}$, $\vec{b}\ne \vec{0}$ で、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行でない（1次独立）から、$(1)$, $(2)$ の係数を比較して
$$\frac{3k}{5}=1-u,\frac{2k}{5}=\frac{3u}{4}$$
第2式より $u=\frac{8k}{15}$。これを第1式に代入すると
$$\frac{3k}{5}=1-\frac{8k}{15}⟹\frac{9k}{15}+\frac{8k}{15}=1⟹k=\frac{15}{17}$$
このとき $u=\frac{8}{15}\cdot \frac{15}{17}=\frac{8}{17}$ である。

$(1)$ に $k=\frac{15}{17}$ を代入して
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{3}{5}\cdot \frac{15}{17}\vec{a}+\frac{2}{5}\cdot \frac{15}{17}\vec{b}=\frac{9}{17}\vec{a}+\frac{6}{17}\vec{b}$$
（確認：$(2)$ に $u=\frac{8}{17}$ を代入しても $1-u=\frac{9}{17}$, $\frac{3u}{4}=\frac{6}{17}$ で一致する。）

よって $(s,t)=\left(\frac{9}{17},\frac{6}{17}\right)$。

$\overrightarrow{OE}=\frac{3}{4}\vec{b}$、$\overrightarrow{OF}=\frac{3\vec{a}+2\vec{b}}{5}$（AをF側から見て AF:FB=2:3 なので $\overrightarrow{OF}=\frac{3\vec{a}+2\vec{b}}{5}$）。

P は OF 上にあるので、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OF}=\frac{3k}{5}\vec{a}+\frac{2k}{5}\vec{b}$。

P は AE 上にあるので、$\overrightarrow{OP}=(1-m)\vec{a}+m\overrightarrow{OE}=(1-m)\vec{a}+\frac{3m}{4}\vec{b}$。

$\vec{a},\vec{b}$ は一次独立なので、
$\frac{3k}{5}=1-m$、$\frac{2k}{5}=\frac{3m}{4}$。

第2式より $m=\frac{8k}{15}$。第1式に代入して $\frac{3k}{5}=1-\frac{8k}{15}$ すなわち $\frac{9k}{15}+\frac{8k}{15}=1$、$k=\frac{15}{17}$。

よって $s=\frac{3}{5}\cdot \frac{15}{17}=\frac{9}{17}$、$t=\frac{2}{5}\cdot \frac{15}{17}=\frac{6}{17}$。

検算：$m=\frac{8}{15}\cdot \frac{15}{17}=\frac{8}{17}$。$1-m=\frac{9}{17}=s$、$\frac{3m}{4}=\frac{6}{17}=t$ で一致する。

答え $(s,t)=\left(\frac{9}{17},\frac{6}{17}\right)$。