ベクトルの問題

まず点 $\mathrm{C}$、$\mathrm{D}$ の位置ベクトルを求める。

$\mathrm{C}$ は辺 $\mathrm{OA}$ を $3:1$ に内分するので
$$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{3}{4}\vec{a}$$
$\mathrm{D}$ は辺 $\mathrm{AB}$ を $2:3$ に内分するので
$$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{3\vec{a}+2\vec{b}}{2+3}=\frac{3}{5}\vec{a}+\frac{2}{5}\vec{b}$$

点 $\mathrm{P}$ は直線 $\mathrm{OD}$ 上にあるので、実数 $k$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\frac{3k}{5}\vec{a}+\frac{2k}{5}\vec{b}(1)$$
と表せる。

また、点 $\mathrm{P}$ は直線 $\mathrm{BC}$ 上にあるので、実数 $u$ を用いて
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-u)\overrightarrow{\mathrm{OB}}+u\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\frac{3u}{4}\vec{a}+(1-u)\vec{b}(2)$$
と表せる。

$\vec{a}\ne \vec{0}$、$\vec{b}\ne \vec{0}$ で、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ は平行でない（$\mathrm{O},\mathrm{A},\mathrm{B}$ は三角形をなす）から、$(1)$、$(2)$ の係数を比較して
$$\frac{3k}{5}=\frac{3u}{4},\frac{2k}{5}=1-u$$
1 つ目の式から $u=\frac{4k}{5}$。これを 2 つ目の式に代入すると
$$\frac{2k}{5}=1-\frac{4k}{5}⟹\frac{6k}{5}=1⟹k=\frac{5}{6}$$
このとき $u=\frac{2}{3}$ であり、$0<k<1$、$0<u<1$ なので $\mathrm{P}$ は確かに線分 $\mathrm{OD}$ 上かつ線分 $\mathrm{BC}$ 上にある。

$(1)$ に $k=\frac{5}{6}$ を代入して
$$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{6}\vec{a}+\frac{2}{5}\cdot \frac{5}{6}\vec{b}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$$
（確認：$(2)$ に $u=\frac{2}{3}$ を代入しても $\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{2}$、$1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ で一致する。）

よって $(s,t)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{3}\right)$ である。

C は OA を 3:1 に内分するので $\overrightarrow{OC}=\frac{3}{4}\vec{a}$。D は AB を 2:3 に内分するので $\overrightarrow{OD}=\frac{3\vec{a}+2\vec{b}}{5}=\frac{3}{5}\vec{a}+\frac{2}{5}\vec{b}$。

P は OD 上にあるので、実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{OP}=k\overrightarrow{OD}=\frac{3k}{5}\vec{a}+\frac{2k}{5}\vec{b}$ と表せる。

P は BC 上にあるので、実数 $m$ を用いて $\overrightarrow{OP}=(1-m)\overrightarrow{OB}+m\overrightarrow{OC}=\frac{3m}{4}\vec{a}+(1-m)\vec{b}$ と表せる。

$\vec{a},\vec{b}$ は一次独立なので係数を比較して、
$\frac{3k}{5}=\frac{3m}{4}$ より $k=\frac{5m}{4}$。
$\frac{2k}{5}=1-m$ より $\frac{2}{5}\cdot \frac{5m}{4}=\frac{m}{2}=1-m$。よって $m=\frac{2}{3}$、$k=\frac{5}{6}$。

このとき $0<k<1$、$0<m<1$ なので P は両線分上にある。

$s=\frac{3k}{5}=\frac{1}{2}$、$t=\frac{2k}{5}=\frac{1}{3}$。

検算：BC 側で $s=\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{2}$、$t=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ となり一致する。